Եռանկյունաչափության քննարկման հարցերի օրինակ

Եռանկյունաչափության օրինակելի հարցեր և քննարկում

Եռանկյունաչափությունը մաթեմատիկայի մի ճյուղ է, որն ուսումնասիրում է եռանկյունների անկյունների և կողմերի երկարությունների միջև եղած կապը: Եռանկյունաչափության հիմնական հասկացությունների ըմբռնումը կարևոր է բազմաթիվ կիրառություններում՝ ֆիզիկայից և ճարտարագիտությունից մինչև աստղագիտություն և աշխարհագրություն: Այս հոդվածում մենք կբացատրենք մի քանի օրինակելի խնդիրներ և կներկայացնենք ամբողջական բացատրություններ՝ հասկանալուն նպաստելու համար:

Օրինակ՝ հարց 1. Եռանկյան կողմերի հաշվարկը՝ օգտագործելով սինուսոիդների մեթոդը

Հարց՝
Տրված է ABC եռանկյուն, որի անկյունը A = 30° է, անկյունը B = 45°, իսկ կողմը b = 10 սմ։ Հաշվեք a կողմի երկարությունը։

Քննարկում.
Կիրառեք սինուսների օրենքը.
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \]

Մուտքագրեք հայտնի արժեքները՝
\[ \frac{a}{\sin 30°} = \frac{10}{\sin 45°} \]

Մենք գիտենք, որ՝
\[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]
\[ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Հիմա այս արժեքները փոխարինեք հավասարման մեջ.
\[ \frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]

Պարզեցրեք հավասարումը.
\[ 2a = \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{2}} \]
\[ 2a = \frac{20}{\sqrt{2}} \]

Ռացիոնալիզացրեք հայտարարը.
\[ 2a = \frac{20 \cdot \sqrt{2}}{2} \]
\[ 2a = 10\sqrt{2} \]
\[ a = 5\sqrt{2} \]

Այսպիսով, a կողմի երկարությունը \(5\sqrt{2} \) սմ է։

Օրինակ՝ հարց 2. Անկյունների հաշվարկը կոսինուսային մեթոդով

Հարց՝
Եռանկյան կողմերը a = 7 սմ, b = 10 սմ և c = 5 սմ են։ Որոշեք C անկյան մեծությունը։

Քննարկում.
Կիրառեք կոսինուսների օրենքը.
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]

Մուտքագրեք հայտնի արժեքները՝
\[ 5^2 = 7^2 + 10^2 – 2 √ 7 √ 10 √ √ √ √ C]

Պարզեցրեք հավասարումը.
\[ 25 = 49 + 100 – 140 \cos C \]
\[ 25 = 149 – 140 \cos C \]

Տեղափոխեք 149-ը ձախ կողմ։
\[ 25 – 149 = -140 \cos C \]
\[ -124 = -140 \cos C \]
\[ \cos C = \frac{124}{140} \]
\[ \cos C = \frac{62}{70} \]
\[ \cos C = \frac{31}{35} \]

Հաշվիչով գտեք \( \cos^{-1} \) (հակադարձ կոսինուսը):
\[ C մոտավորապես \cos^{-1}\left(\frac{31}{35}\right) \]
\[ C \մոտավորապես 25.84° \]

Այսպիսով, C անկյան չափը մոտ 25.84° է։

Օրինակ՝ հարց 3. Եռանկյան բարձրության և մակերեսի հաշվարկ

Հարց՝
Եռանկյունին երկու կողմերն ունեն a = 6 սմ և b = 8 սմ երկարություն, որոնց միջև կա անկյուն՝ \(\τ\) = 60°: Հաշվեք եռանկյան բարձրությունը և մակերեսը:

Քննարկում.

1. Եռանկյան մակերեսի հաշվարկը.
Օգտագործեք եռանկյան տարածքի բանաձևը.
\[ \text{Մակերես} = \frac{1}{2} ab \sin \theta \]

Մուտքագրեք հայտնի արժեքները՝
\[ \text{Մակերես} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 60° \]

Մենք գիտենք, որ՝
\[ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Այսպիսով՝
\[ \text{Մակերես} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Մակերես} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Մակերես} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Մակերես} = 12\sqrt{3} \]

Այսպիսով, եռանկյան մակերեսը \(12\sqrt{3} \) սմ² է։

2. Եռանկյան բարձրության հաշվարկը a հիմքից՝
Եռանկյան բարձրությունը հաշվարկելու համար այն նշանակեք h թվանշանով և օգտագործեք մակերեսի բանաձևը՝
\[ \text{Մակերես} = \frac{1}{2} \times a \times h \]
\[ 12\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 6 \times h \]
\[ 12\sqrt{3} = 3ժ \]
\[ h = \frac{12\sqrt{3}}{3} \]
\[ h = 4\sqrt{3} \]

Այսպիսով, եռանկյան բարձրությունը \( 4\sqrt{3} \) սմ է։

Օրինակ՝ հարց 4. Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի որոշումը

Հարց՝
Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ, որի թետա անկյունը = 30° է, և թետա անկյան զուգահեռ կողմը 5 սմ է, որոշեք ներքնաձիգի երկարությունը։

Քննարկում.
Օգտագործեք եռանկյունաչափական հարաբերակցությունները ուղղանկյուն եռանկյան 30° անկյան համար։
\[ \sin \theta = \frac{\text{առջևի մաս}}{\text{հիպոթենուս}} \]
\[ \sin 30° = \frac{դիմային}{հիպոթենուս} = \frac{5}{\text{հիպոթենուս}} \]

Մենք գիտենք, որ՝
\[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]

Այսպիսով՝
\[ \frac{1}{2} = \frac{5}{\text{հիպոթենուս}} \]
\[ \text{հիպոթենուս} = 10 \]

Այսպիսով, հիպոթենուսի երկարությունը 10 սմ է։

Օրինակ՝ հարց 5. Անկյունների հաշվարկ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջոցով

Հարց՝
Եթե ​​\( \tan \theta = \frac{3}{4} \), հաշվարկեք \(\theta\) անկյան չափը։

Քննարկում.
Հակադարձ շոշափողականության բանաձևը կիրառելով՝
\[ \theta = \tan^{-1} \left(\frac{3}{4}\right) \]

Հաշվիչի օգնությամբ՝
\[ \թետա \մոտավորապես 36.87° \]

Այսպիսով, \(\թ\) անկյան չափը մոտ 36.87° է։

Եզրակացություն

Եռանկյունաչափությունը լայն մաթեմատիկական հասկացություն է, որը լայն կիրառություն ունի տարբեր ոլորտներում: Սինուսների, կոսինուսների և այլ հիմնական ֆունկցիաների օրենքների կիրառման ըմբռնումը թույլ է տալիս լուծել եռանկյունների և անկյունների հետ կապված բազմազան խնդիրներ: Վերոնշյալ օրինակների միջոցով հույս կա, որ ընթերցողները ավելի խորը ըմբռնում կստանան և կկարողանան կիրառել այն եռանկյունաչափության ըմբռնում պահանջող տարբեր իրավիճակներում: