Բարդ իրադարձությունների հավանականության վերաբերյալ քննարկման հարցի օրինակ

Բարդ իրադարձությունների հավանականությունը քննարկող հարցերի օրինակներ

Բարդ իրադարձությունների հավանականության ներածություն

Հավանականությունը մաթեմատիկայի այն ճյուղն է, որն ուսումնասիրում է որևէ իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը: Բարդ իրադարձության հավանականությունը մեկից ավելի իրադարձություն ներառող իրադարձության հավանականությունն է: Օրինակ՝ զառի վրա զույգ թիվ գլորելու և խաղաքարտերի տուփից տուզ գլորելու հավանականությունը բարդ իրադարձությունների օրինակներ են: Այս հոդվածում կքննարկվեն մի քանի օրինակելի խնդիրներ և կքննարկվի բարդ իրադարձությունների հավանականությունը:

Բարդ իրադարձությունների հավանականության հիմնական հասկացությունը

Կան երկու տեսակի բարդ իրադարձություններ.

1. Փոխադարձաբար բացառիկ իրադարձություններ. Երկու իրադարձություն, որոնք չեն կարող տեղի ունենալ միաժամանակ: Օրինակ՝ զառ գցելիս 2 և 5 գցելու իրադարձությունները փոխադարձաբար բացառիկ իրադարձություններ են, քանի որ անհնար է միաժամանակ գցել երկու թվերը:

2. Փոխադարձաբար չբացառող իրադարձություններ. Երկու իրադարձություն, որոնք կարող են տեղի ունենալ միաժամանակ: Օրինակ՝ խաղաքարտերի վիճակահանության ժամանակ սրտի քարտ (♥) և 10 թվով քարտ ստանալու իրադարձությունները փոխադարձաբար չբացառող իրադարձություններ են, քանի որ կա 10 թվով սրտի քարտ:

Ահա մի քանի հիմնական բանաձևեր, որոնք օգտագործվում են բարդ իրադարձությունների հավանականությունը հաշվարկելիս.

– P(A կամ B) (փոխադարձաբար չբացառող իրադարձությունների համար): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B)\)

– P(A կամ B) (փոխադարձաբար բացառող իրադարձությունների համար): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

– P(A և B) (անկախ իրադարձությունների համար): \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)

Հարցերի և քննարկման նմուշներ

Օրինակ՝ հարց 1. Զառ

Հարց՝
Որքա՞ն է զառի վրա զույգ կամ 4-ից մեծ թիվ ստանալու հավանականությունը։

Քննարկում.
Նախ, եկեք սահմանենք իրադարձությունները.
– A իրադարձություն. Զույգ թվի ստացում (2, 4, 6)
– B իրադարձություն. 4-ից մեծ թիվ ստանալը (5, 6)

Հաջորդը, մենք որոշում ենք յուրաքանչյուր իրադարձության հավանականությունը՝
– \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
– \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

Քանի որ A և B իրադարձություններում կա 6 թիվ, մենք պետք է հաշվարկենք \(P(A \cap B)\):
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) (քանի որ A-ում և B-ում ներառված է միայն մեկ թիվ՝ 6-ը)

Օգտագործելով փոխադարձաբար չբացառող իրադարձությունների բանաձևը՝
\[P(A \բաժակ B) = P(A) + P(B) – P(A \բաժակ B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}\]

Եկեք այս կոտորակների հայտարարները դարձնենք նույնը.
\[P(A \բաժակ B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

Այսպիսով, զույգ կամ 4-ից մեծ թիվ ստանալու հավանականությունը \(\frac{2}{3}\) է։

Օրինակ հարց 2. Խաղաքարտեր

Հարց՝
Որքա՞ն է խաղաքարտերի տրցակից տուզ կամ ագռակ ստանալու հավանականությունը։

Քննարկում.
Նախ, եկեք սահմանենք իրադարձությունները.
– A իրադարձություն. Տուզ քարտի ստացում (ընդհանուր 4, մեկը յուրաքանչյուր մաստի համար)
– Իրադարձություն B. Սպայդ քարտ ստանալը (ընդհանուր 13)

Հաջորդը, մենք որոշում ենք յուրաքանչյուր իրադարձության հավանականությունը՝
– \(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
– \(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)

Քանի որ ագռակը ներառված է և՛ A, և՛ B իրադարձություններում, մենք պետք է հաշվարկենք \(P(A \cap B)\):
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{52}\)

Օգտագործելով փոխադարձաբար չբացառող իրադարձությունների բանաձևը՝
\[P(A \բաժակ B) = P(A) + P(B) – P(A \բաժակ B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52}\]

Եկեք այս կոտորակների հայտարարները դարձնենք նույնը.
\[
P(A \բաժակ B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} – \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}
\]

Այսպիսով, տուզ կամ ագռակ ստանալու հավանականությունը \(\frac{4}{13}\) է։

Օրինակ՝ խնդիր 3. Գնդակը տուփի մեջ

Հարց՝
Տուփում կա 3 կարմիր, 4 կապույտ և 5 կանաչ գնդակ։ Եթե պատահականորեն հանենք մեկ գնդակ, որքա՞ն է կարմիր կամ կանաչ գնդակ ստանալու հավանականությունը։

Քննարկում.
Նախ, եկեք սահմանենք իրադարձությունները.
– Իրադարձություն A. Կարմիր գնդակի ստացում (համար 3)
– Իրադարձություն B. Կանաչ գնդակի ստացում (համար 5)

Հաջորդը, մենք որոշում ենք յուրաքանչյուր իրադարձության հավանականությունը՝
– Գնդակների ընդհանուր քանակը = 3 + 4 + 5 = 12
– \(P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
– \(P(B) = \frac{5}{12}\)

Քանի որ ոչ մի գնդակ չի կարող միաժամանակ լինել և՛ կարմիր, և՛ կանաչ, այս իրադարձությունները փոխադարձաբար բացառող են.
\[P(A \բաժակ B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\]

Եկեք այս կոտորակների հայտարարները դարձնենք նույնը.
\[
P(A \բաժակ B) = \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}
\]

Այսպիսով, կարմիր կամ կանաչ գնդակ ստանալու հավանականությունը \(\frac{2}{3}\) է։

Օրինակ՝ հարց 4. Երկու մետաղադրամ

Հարց՝
Եթե ​​միաժամանակ նետվի երկու մետաղադրամ, որքա՞ն է հավանականությունը, որ կհայտնվի առնվազն մեկ գլուխ։

Քննարկում.
Մենք սահմանում ենք A իրադարձությունը՝ առնվազն մեկ պատկերի ընկալում։
Երկու մետաղադրամ նետելու չորս հնարավոր արդյունք կա.
1. Հ.Հ.
2. ՀՏ
3. ԹՀ
4. ՏՏ

Միջոցառումները, որոնք պարունակում են առնվազն մեկ պատկեր, հետևյալն են՝
– ՀՏ
– ԹՀ
– ՏՏ

Եկեք հաշվարկենք յուրաքանչյուրի հավանականությունը՝
– Հնարավոր իրադարձությունների քանակը (ընդհանուր)՝ 4
– Առնվազն մեկ պատկեր պարունակող իրադարձությունների քանակը՝ 3

\[
P(A) = \frac{Միջոցառումների քանակը առնվազն մեկ գլխով}{Միջոցառումների ընդհանուր քանակը} = \frac{3}{4}
\]

Այսպիսով, առնվազն մեկ պատկերի հայտնվելու հավանականությունը \(\frac{3}{4}\) է։

Եզրակացություն

Վերոնշյալ խնդիրների քննարկումը ցույց է տալիս, թե ինչպես կարող ենք հաշվարկել բարդ իրադարձության հավանականությունը, անկախ նրանից՝ այն փոխադարձաբար բացառող է, թե ոչ։ Հիմնական հասկացությունները հասկանալով և ճիշտ բանաձևերը օգտագործելով՝ մենք կարող ենք որոշել իրադարձությունների որոշակի համակցությունների տեղի ունենալու հավանականությունը տարբեր առօրյա իրավիճակներում։ Շարունակեք կատարելագործել ձեր հմտությունները տարբեր խնդիրների հետ՝ բարդ իրադարձությունների հավանականությունը ավելի հմուտ որոշելու համար։