Նորմալ բաշխման սպասվող արժեքի վերաբերյալ քննարկման հարցի օրինակ

Նորմալ բաշխման սպասվող արժեքի վերաբերյալ քննարկման հարցի օրինակ

Նորմալ բաշխումը, որը հայտնի է նաև որպես Գաուսյան բաշխում, վիճակագրության և հավանականության մեջ ամենատարածված անընդհատ հավանականության բաշխումներից մեկն է: Այս բաշխումը հաճախ օգտագործվում է որպես հիմնական ենթադրություն տարբեր վիճակագրական եզրակացություններում՝ իր բարենպաստ մաթեմատիկական հատկությունների շնորհիվ, ինչպիսիք են սիմետրիան և միջին (µ) և ստանդարտ շեղման (σ) պարամետրացման մեջ իր եզակիությունը: Այս հոդվածում կքննարկվեն օրինակներ և նորմալ բաշխման սպասվող արժեքը՝ այս հասկացության ավելի խորը ըմբռնում ապահովելու համար:

Նորմալ բաշխման հասկացումը

Նորմալ բաշխումը պատկերվում է սիմետրիկ զանգակաձև կորով, որտեղ արժեքների մեծ մասը կենտրոնացած է միջին արժեքի կամ միջինի շուրջ: Այս բաշխման շրջանակներում միջինը (µ) և ստանդարտ շեղումը (σ) երկու կարևոր պարամետրեր են, որոնք որոշում են տվյալների տարածման տեղը և չափը:

Նորմալ բաշխման հավանականության խտության ֆունկցիան (PDF) հետևյալն է.

\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\]

Որտեղ՝
– \( \mu \)-ն միջին կամ միջին արժեքն է
– \( \sigma \)-ն ստանդարտ շեղումն է
– \(x \)-ն պատահական փոփոխական է

Նորմալ բաշխման մեջ սպասվող արժեքը

Նորմալ բաշխում ունեցող պատահական փոփոխականի սպասվող արժեքը հավասար է բաշխման միջինին։ Եթե \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \) \), ապա \(E(X) \) սպասվող արժեքը հետևյալն է՝

\[ E(X) = \mu \]

Եկեք շարունակենք նորմալ բաշխումներում սպասվող արժեքներին վերաբերող խնդիրների մի քանի օրինակներով՝ մեր հասկացողությունն ամրապնդելու համար։

Հարցերի և քննարկման նմուշներ

Օրինակ՝ հարց 1:

Ենթադրենք, որ X-ը նորմալ բաշխված պատահական փոփոխական է՝ mu = 50 և sigma = 10 արժեքներով։ Հաշվարկեք X-ի սպասվող արժեքը։

Քննարկում.

Ինչպես արդեն նշվեց, նորմալ բաշխման դեպքում E(X)-ի սպասվող արժեքը հավասար է mu-ի։ Այսպիսով,

\[ E(X) = \mu = 50 \]

Օրինակ՝ հարց 2:

Տրված է պատահական փոփոխական՝ Y-ը, որի նորմալ բաշխումը հետևյալն է՝ mu = 120 և sigma = 15։ Գտեք Y-ի սպասվող արժեքը։

Քննարկում.

Նմանապես առաջին օրինակի, \(Y \)-ի սպասվող արժեքը նորմալ բաշխման միջին արժեքն է կամ միջինը, այսինքն՝

\[ E(Y) = \mu = 120 \]

Օրինակ՝ հարց 3:

Եթե ​​պատահական փոփոխականը՝ Z = 0 և S = 1 (ստանդարտ նորմալ բաշխում) նորմալ բաշխում են ստանում, ապա որքա՞ն է Z-ի սպասվող արժեքը։

Քննարկում.

Ստանդարտ նորմալ բաշխումն ունի միջին \( \mu = 0 \), ուստի սպասվող արժեքը \(E(Z) \) հետևյալն է՝

\[ E(Z) = \mu = 0 \]

Օրինակ՝ հարց 4:

Ենթադրենք, որ W-ն նորմալ բաշխված պատահական փոփոխական է՝ միջին արժեքով (mu = 75) և ստանդարտ շեղումով (sigma = 20): Եթե սահմանենք նոր պատահական փոփոխական (V = 2W + 3), որքա՞ն է V-ի սպասվող արժեքը:

Քննարկում.

V-ի սպասվող արժեքը գտնելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել սպասվող արժեքի գծային հատկությունը։ Տրված է V = 2W + 3, ապա՝

\[ E(V) = E(2W + 3) \]

Ակնկալվող արժեքի գծայինության հատկության հիման վրա մենք կարող ենք տարբերակել հաստատունը պատահական փոփոխականից՝

\[ E(V) = 2E(W) + E(3) \]

Իմանալով, որ հաստատունի սպասվող արժեքը հենց հաստատունն է՝

\[ E(3) = 3 \]

Եվ \(W\)-ի սպասվող արժեքը \(W\) նորմալ բաշխման միջինն է։

\[ E(W) = \mu = 75 \]

Այսպիսով,

\[ E(V) = 2 x 75 + 3 \]
\[ E(V) = 150 + 3 \]
\[ E(V) = 153 \]

Օրինակ՝ հարց 5:

Պատահական փոփոխականը՝ Q, հետևում է նորմալ բաշխման՝ միջինով՝ mu = 40, և ստանդարտ շեղում՝ sigma = 5: Որքա՞ն է Q-ի սպասվող արժեքը, եթե U = Q/2 է:

Քննարկում.

Մենք օգտագործում ենք նույն սկզբունքը, ինչ օրինակ 4-ում, այսինքն՝ սպասվող արժեքի գծային հատկությունը։ Հաշվի առնելով, որ \( U = Q/2 \), ապա՝

\[ E(U) = E\left(\frac{Q}{2}\right) \]

Ակնկալվող արժեքի գծային հատկության հիման վրա՝

\[ E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]

Մենք գիտենք, որ Q-ի սպասվող արժեքը Q նորմալ բաշխման միջինն է։

\[ E(Q) = \mu = 40 \]

Այսպիսով,

\[ E(U) = \frac{1}{2} \times 40 \]
\[ E(U) = 20 \]

Եզրակացություն

Նորմալ բաշխման դեպքում պատահական փոփոխականի սպասվող արժեքը միշտ հավասար է բաշխման միջինին (µ): Վերը նշված օրինակելի խնդիրները ցույց են տալիս գծայնության հատկությունը օգտագործելով սպասվող արժեքը հաշվարկելու տարբեր պայմաններ: Այս հիմնական հասկացության ըմբռնումը հեշտացնում է վիճակագրության և հավանականության մեջ նորմալ բաշխման խնդիրների լուծումը:

Նորմալ բաշխումը կարևոր է վիճակագրության մեջ, քանի որ այն օգտագործվում է գործնական կիրառությունների լայն շրջանակում, ներառյալ վարկածների ստուգումը, պարամետրերի գնահատումը և տարբեր այլ վիճակագրական եզրակացություններ: Այս բաշխման սպասվող արժեքի լավ ըմբռնումը տվյալների վերլուծության կարևոր առաջին քայլ է:

Հուսով եմ, որ այս հոդվածը պարզ և օգտակար բացատրություն է տալիս նորմալ բաշխման մեջ սպասվող արժեքի վերաբերյալ՝ համապատասխան օրինակելի հարցերի և քննարկումների հետ միասին։