Շրջանագծերի և շոշափողների վերաբերյալ հարցերի օրինակներ

Օրինակելի հարցեր և քննարկում շրջանագծերի և շոշափողների վերաբերյալ

Շրջանագծերը և շոշափողները մաթեմատիկայում հաճախ քննարկվող երկու թեմաներ են, հատկապես միջնակարգ դպրոցի մակարդակում: Շոշափողների հասկացությունը և դրանց կիրառումը շրջանագծերի նկատմամբ կարևոր է երկրաչափության վերաբերյալ ձեր գիտելիքները խորացնելու համար: Այս հոդվածը կներկայացնի շրջանագծերի և շոշափողների վերաբերյալ օրինակելի խնդիրներ և քննարկումներ՝ ընթերցողներին ավելի խորը պատկերացում տալու համար:

Շրջանագծերի և շոշափողների տեսության ներածություն

Շրջան
Շրջանակը հարթության վրա գտնվող կետերի ամբողջություն է, որոնք հավասարահեռ են շրջանագծի կենտրոն կոչվող ֆիքսված կետից: Այս ֆիքսված հեռավորությունը հայտնի է որպես շրջանագծի շառավիղ: Մաթեմատիկորեն, շրջանագիծը կարելի է սահմանել հետևյալ հավասարմամբ.
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
որտեղ \((a, b)\)-ն շրջանագծի կենտրոնի կոորդինատներն են, իսկ \(r\)-ն՝ շառավիղը։

Տանգենս
Շրջանագծի շոշափողը մի գիծ է, որը շոշափում է շրջանագիծը ճիշտ մեկ կետում: Այս կետը կոչվում է շոշափման կետ: Շոշափողի հիմնական բնութագիրն այն է, որ այն ուղղահայաց է շրջանագծի կենտրոնից մինչև շոշափման կետը տարված շառավղին:

Հարցերի և քննարկման նմուշներ

Հարց 1. Շոշափող գծի հավասարման որոշումը

Հարց՝
Տրված է շրջանագիծ, որի կենտրոնը գտնվում է (2, 3) կետում և շառավղը՝ 5: Որոշեք շրջանագծին շոշափող գծի հավասարումը (P) կետում, որի կոորդինատները (5, 7) են:

Քննարկում.

Քայլ 1։ Համոզվեք, որ \(P \) կետը իրականում գտնվում է շրջանագծի վրա։
Ստուգելու համար, թե արդյոք P(5, 7))-ը գտնվում է (2, 3) կենտրոնով և 5 շառավղով շրջանագծի վրա, P()-ի կոորդինատները փոխարինեք շրջանագծի հավասարման մեջ։
\[ (x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 5^2 \]
\[ (5 – 2)^2 + (7 – 3)^2 = 25 \]
\[ 3^2 + 4^2 = 25 \]
\[ 9 + 16 = 25 \]

Քանի որ հավասարությունը ճիշտ է, P կետը գտնվում է շրջանագծի վրա։

Քայլ 2։ Որոշեք (2, 3) և (5, 7) կետերով անցնող շառավղի թեքությունը։
\[ m_{շառավիղ} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3} \]

Քայլ 3։ Շառավղի թեքությանը ուղղահայաց շոշափող գծի թեքությունը (արտադրյալի թեքությունը -1 է):
\[ m_{տանգենս} = -\frac{1}{m_{շառավիղ}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]

Քայլ 4։ Որոշեք շոշափող գծի հավասարումը՝ օգտագործելով \(P(5, 7)\ կետը):
\[ y – y_1 = m (x – x_1) \]
\[ y – 7 = -\frac{3}{4} (x – 5) \]

Պարզեցնել՝
\[ y – 7 = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \]
\[ 4y – 28 = -3x + 15 \]
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]

Այսպիսով, շոշափող գծի հավասարումը հետևյալն է.
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]

Հարց 2. Շոշափման կետի որոշումը գծի հավասարումից

Հարց՝
Տրված է շրջանագիծ՝ x^2 + y^2 = 25 հավասարմամբ և y = x + 2 ուղիղով։ Որոշեք գծի և շրջանագծի միջև շոշափման կետը։

Քննարկում.

Քայլ 1։ Շրջանակի հավասարումը փոխարինեք գծի հավասարման մեջ։
Շրջանակի հավասարում.
\[ x^2 + y^2 = 25 \]

Շրջանաձև հավասարման մեջ տեղադրեք \(y = \frac{3}{4}x + 2 \)-ը՝
\[ x^2 + \left(\frac{3}{4}x + 2\right)^2 = 25 \]
\[ x^2 + \left(\frac{9}{16}x^2 + \frac{12}{4}x + 4 \right) = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16}x^2 + \frac{6}{2}x + 4 = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16}x^2 + 3x + 4 = 25 \]

Քայլ 2. Պարզեցրեք հավասարումը.
\[ 16x^2 + 9x^2 + 48x + 64 = 400 \]
\[ 25x^2 + 48x + 64 – 400 = 0 \]
\[ 25x^2 + 48x – 336 = 0 \]

Քայլ 3. Արմատների գտնումը՝ օգտագործելով քառակուսային բանաձևը.
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
\[ a = 25, b = 48, c = -336 \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 – 4 \cdot 25 \cdot (-336)}}{2 \cdot 25} \]
x = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 + 33600}}{50} \]
x = \frac{-48 \pm \sqrt{35904}}{50} \]
x = \frac{-48 \pm 189.501}{50} \]

Շոշափման կետի հիման վրա վավեր \(x \)-ի ընտրություն (միայն մեկ \(x \) կստեղծի շոշափման կետ).
x = \frac{141.501}{50} \մոտավորապես 2.83 \]
x մոտավորապես 2.83

Քայլ 4։ Գծի հավասարման մեջ տեղադրեք x-ը՝ y ստանալու համար։
\[ y = \frac{3}{4}(2.83) + 2 \]
\[ y \մոտավորապես 2.12 + 2 \]
\[ y \մոտավորապես 4.12 \]

Այսպիսով, y = \frac{3}{4}x + 2 \) գծի և շրջանագծի (x^2 + y^2 = 25 \) միջև շոշափման կետը \((2.83, 4.12) \) է։

Եզրակացություն

Շրջանագծերի և շոշափողների հասկացությունների յուրացումը ենթադրում է երկրաչափության հիմունքների ըմբռնում և մաթեմատիկական հավասարումների միջոցով խնդիրներ լուծելու կարողություն: Վերը նշվածի նման խնդիրները օգնում են ուսանողներին կիրառել տեսությունն ավելի կոնկրետ իրավիճակներում: Հետևողական պրակտիկայի միջոցով ուսանողներից ակնկալվում է ավելի հեշտությամբ հասկանալ և լուծել խնդիրները: