Խմբավորված տվյալների քվարտիլների վերաբերյալ քննարկման հարցի օրինակ

Խմբավորված տվյալների քվարտիլների քննարկման օրինակելի հարցեր

Պենդահուլուան

Վիճակագրության մեջ քվարտիլները կենտրոնական միտման չափման միջոց են, որը տվյալները բաժանում է չորս հավասար մասերի: Քվարտիլները բաղկացած են առաջին քվարտիլից (Q1), երկրորդ քվարտիլից (Q2) և երրորդ քվարտիլից (Q3): Շատ դեպքերում վերլուծվող տվյալները կարող են խմբավորվել: Այս հոդվածում կքննարկվեն խմբավորված տվյալների համար օրինակներ և քվարտիլների քննարկում:

Քվարտիլների հասկացումը խմբային տվյալներում

Քվարտիլները արժեքներ են, որոնք կազմակերպված տվյալները բաժանում են չորս հավասար մասերի: Առաջին քվարտիլը (Q1) հայտնի է որպես 25-րդ պերցենտիլ, երկրորդ քվարտիլը (Q2) հայտնի է նաև որպես միջնարժեք կամ 50-րդ պերցենտիլ, իսկ երրորդ քվարտիլը (Q3) հայտնի է որպես 75-րդ պերցենտիլ:

Խմբավորված տվյալների համար քվարտիլների հաշվարկը մի փոքր ավելի բարդ է, քան առանձին տվյալների համար։ Խմբավորված տվյալները սովորաբար ներկայացվում են հաճախականության բաշխման աղյուսակում, ուստի մենք պետք է օգտագործենք որոշակի բանաձև՝ քվարտիլները գտնելու համար։

Քվարտիլային բանաձև խմբավորված տվյալների համար

Խմբավորված տվյալներում քվարտիլները գտնելու համար մենք օգտագործում ենք հետևյալ բանաձևը՝

– Առաջին քվարթիլ (Q1):
\[
Q1 = L_{Q1} + \left( \frac{\frac{N}{4} – F_{Q1}}{f_{Q1}} \right) \times c
\]

– Երկրորդ քվարթիլ (Q2):
\[
Q2 = L_{Q2} + \left( \frac{\frac{N}{2} – F_{Q2}}{f_{Q2}} \right) \times c
\]

– Երրորդ քվարթիլ (Q3):
\[
Q3 = L_{Q3} + \left( \frac{\frac{3N}{4} – F_{Q3}}{f_{Q3}} \right) \times c
\]

Որտեղ՝
– \( L_{Q1}, L_{Q2}, L_{Q3} \) = Q1, Q2, Q3 դասի ստորին սահմանը
– \( N \) = տվյալների քանակը
– \( F_{Q1}, F_{Q2}, F_{Q3} \) = կուտակային հաճախականությունը Q1, Q2, Q3 դասերից առաջ
– \( f_{Q1}, f_{Q2}, f_{Q3} \) = Q1, Q2, Q3 դասի հաճախականություններ
– \( c \) = դասի երկարությունը

Խնդիրների օրինակ

Հետևյալը խմբային տվյալների խնդրի օրինակ է, որը կօգտագործվի քվարտիլները հաշվարկելու համար.

| Արժեք | Հաճախականություն |
|————|———–|
| 10 – 19 | 5 |
| 20 – 29 | 8 |
| 30 – 39 | 12 |
| 40 – 49 | 15 |
| 50 – 59 | 6 |
| 60 – 69 | 4 |

Քայլ 1. Որոշեք կուտակային հաճախականությունը

Նախևառաջ, մենք պետք է որոշենք յուրաքանչյուր դասի կուտակային հաճախականությունը.

| Արժեք | Հաճախականություն | Կուտակային հաճախականություն |
|————|—————–|—————————|
| 10 – 19 | 5 | 5 |
| 20 – 29 | 8 | 13 |
| 30 – 39 | 12 | 25 |
| 40 – 49 | 15 | 40 |
| 50 – 59 | 6 | 46 |
| 60 – 69 | 4 | 50 |

Տվյալների քանակը (N) = 50

Քայլ 2. Առաջին քվարտիլի (Q1) որոշում

– \( \frac{N}{4} = \frac{50}{4} = 12.5 \)

Մենք փնտրում ենք այն դասը, որտեղ կուտակային հաճախականությունն առաջին անգամ գերազանցում է 12.5-ը, այսինքն՝ 20-29 դասը։

– L (Q1 դասի ստորին սահման) = 20
– F (կուտակային հաճախականությունը Q1 դասից առաջ) = 5
– f (Q1 դասի հաճախականությունը) = 8
– c (դասի երկարությունը) = 10

Օգտագործելով Q1 բանաձևը՝
\[
Q1 = 20 + (√⁻¹⁻¹⁻¹ – 5}{8}) x 10 = 20 + (√⁻¹⁻¹) x 10 = 20 + 9.375 = 29.375
\]

Քայլ 3. Երկրորդ քվարտիլի (Q2) որոշում

– \( \frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)

Մենք փնտրում ենք այն դասը, որտեղ կուտակային հաճախականությունն առաջին անգամ գերազանցում է 25-ը, այսինքն՝ 30-39 դասը։

– Լ = 30
– Ֆ = 13
– f = 12
– c = 10

Օգտագործելով Q2 բանաձևը՝
\[
Q2 = 30 + (√⁻¹⁻¹⁻¹ – 13}{12}) x 10 = 30 + (√⁻¹⁻¹) x 10 = 30 + 10 = 40
\]

Քայլ 4. Որոշեք երրորդ քվարտիլը (Q3)

– \( \frac{3N}{4} = \frac{3 \times 50}{4} = 37.5 \)

Մենք փնտրում ենք այն դասը, որտեղ կուտակային հաճախականությունն առաջին անգամ գերազանցում է 37.5-ը, այսինքն՝ 40-49 դասը։

– Լ = 40
– Ֆ = 25
– f = 15
– c = 10

Օգտագործելով Q3 բանաձևը՝
\[
Q3 = 40 + (√⁻¹⁻¹) x 10 = 40 + (√⁻¹⁻¹) x 10 = 40 + (√⁻¹⁻¹) x 12.5 x 15) x 10 = 40 + 8.333 x 48.333
\]

Եզրակացություն

Վերոնշյալ հաշվարկներից մենք ստանում ենք խմբային տվյալների համար քվարտիլային արժեքները հետևյալ կերպ.

– Առաջին քվարթիլ (Q1) = 29.375
– Երկրորդ քվարթիլ (Q2) = 40
– Երրորդ քվարթիլ (Q3) = 48.333

Այս արժեքները թույլ են տալիս հասկանալ, թե ինչպես են տվյալները բաշխվում խմբի ներսում։ Օրինակ՝ տվյալների 25%-ը ընկնում է 29.375-ից ցածր (Q1), տվյալների 50%-ը՝ 40-ից ցածր (միջնարժեք կամ Q2), իսկ տվյալների 75%-ը՝ 48.333-ից ցածր (Q3)։

Քվարտիլային հաշվարկները օգտակար են տարբեր իրավիճակներում՝ տվյալների բաշխման ավելի խորը ըմբռնում ստանալու համար: Այս մեթոդի ըմբռնումը թույլ է տալիս մեզ ավելի ճշգրիտ և արդյունավետ վերլուծել խմբավորված տվյալները: