Քվանտային երևույթների վերաբերյալ հարցերի օրինակներ

Քվանտային երևույթների վերաբերյալ հարցերի օրինակներ

Քվանտային երևույթները կամ քվանտային մեխանիկայի կողմից կարգավորվող երևույթները ընդգրկում են հասկացությունների և սկզբունքների լայն շրջանակ, որոնք պահանջում են խորը ըմբռնում և մաթեմատիկական բարդություն: Քվանտային մեխանիկան ֆիզիկայի մի ճյուղ է, որը նկարագրում է ենթաատոմային մասնիկների, ինչպիսիք են էլեկտրոնները և ֆոտոնները, վարքագիծը, որը չի կարող բացատրվել դասական ֆիզիկայով: Այս հոդվածում մենք կուսումնասիրենք քվանտային երևույթների հետ կապված մի քանի օրինակելի խնդիրներ և դրանց լուծումները՝ քվանտային մեխանիկայի հիմնական սկզբունքները հասկանալու համար:

Օրինակ՝ հարց 1. Հայզենբերգի անորոշության սկզբունքը

Հարց՝
Հայտնի է, որ էլեկտրոնի դիրքը ատոմում չափվում է \( \Delta x = 0.1 \text{nm} \ ճշգրտությամբ։ Որոշեք էլեկտրոնի իմպուլսի չափման նվազագույն անորոշությունը (\( \Delta p \))՝ օգտագործելով Հայզենբերգի անորոշության սկզբունքը։

Պատասխան՝
Հայզենբերգի անորոշության սկզբունքը ձևակերպում է հետևյալը.
\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
որտեղ ≤ hbar-ը վերականգնված Պլանկի հաստատունն է, որի արժեքը ≤ hbar՝ մոտավորապես 1.054 x 10^{-34} Js} է։

Փոխարինեք \(\Delta x = 0.1 \text{nm} = 0.1 \times 10^{-9} \text{m}\)-ով։
\[ \Delta p \geq \frac{\hbar}{2 \Delta x} \]
\[ \Delta p \geq \frac{1.054 \times 10^{-34}}{2 \times 0.1 \times 10^{-9}} \]
\[ \Delta p \geq \frac{1.054 \times 10^{-34}}{2 \times 10^{-10}} \]
\[ \Delta p \geq \frac{1.054 \times 10^{-34}}{2 \times 10^{-10}} = 5.27 \times 10^{-25} \text{ կգ մ/վ} \]

Այսպիսով, էլեկտրոնային իմպուլսի չափման նվազագույն անորոշությունը \(5.27 \times 10^{-25} \text{ կգ մ/վ} \) է։

Օրինակ հարց 2. Պոտենցիալ էներգիան տուփում (մասնիկը տուփում)

Հարց՝
m զանգվածով մասնիկը փակված է L երկարությամբ միաչափ արկղում։ Որքա՞ն է մասնիկի հիմնարար էներգիան (հիմնական վիճակի էներգիան)։

Պատասխան՝
Միաչափ արկղում գտնվող մասնիկի հիմնարար էներգիան (հիմնական վիճակի էներգիան) տրվում է հավասարմամբ՝
\[ E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2} \]

Հիմնական վիճակի համար (\( n=1 \)):
\[ E_1 = \frac{h^2}{8մԼ^2} \]
որտեղ (h)-ը Պլանկի հաստատունն է (h = մոտավորապես 6.626 x 10^{-34} Js}).

Ենթադրենք՝ m = 9.109 x 10^{-31} x kg) (էլեկտրոնի զանգվածը) և L = 1 x 10^{-9} x m):
\[ E_1 = (6.626 x 10^{-34)^2}{8 x 9.109 x 10^{-31} x (1 x 10^{-9)^2}]
\[ E_1 = \frac{4.39 x 10^{-67}}{7.287 x 10^{-50}} \]
\[ E_1 = 6.02 \times 10^{-18} \text{ Ջ} \]

Այսպիսով, մասնիկի հիմնարար էներգիան է (6.02 x 10^{-18} \text{Ջ} \)։

Օրինակ 3. Համիլտոնյան օպերատորային գործողություններ ալիքային ֆունկցիաների վրա

Հարց՝
Միաչափ արկղում գտնվող մասնիկի ալիքային ֆունկցիան է՝ \( \psi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \)՝ n=1,2,3, \ldots \ համար։ Որոշեք մասնիկի էներգիան՝ օգտագործելով Համիլտոնյան \( \hat{H} \) օպերատորը։

Պատասխան՝
Համիլտոնյան օպերատորը միաչափության մեջ հետևյալն է՝
\[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \]

Մենք պետք է կիրառենք Համիլտոնյան օպերատորը ալիքային ֆունկցիայի համար \psi(x)\):
\[ \hat{H} \psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]

\(x)-ի առաջին ածանցյալը):
\[ \frac{d}{dx} (\frac{2}{L}} \sin(\frac{n\pix}{L})) = \sqrt{\frac{2}{L}} (\frac{n\pi}{L} \cos(\frac{n\pi x}{L}))

Երկրորդ ածանցյալը՝
\[ \frac{d^2}{dx^2} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi}{L} \right) \right) = \sqrt{\frac{2}{L}} \left( - \frac{n\pi}{L} \right)^2 \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]
\[ \frac{d^2}{dx^2} ( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) = -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \]

Հիմա արդյունքը փոխարինեք Համիլտոնյան օպերատորով։
\[ \hat{H} \psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \left( -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]
\[ \hat{H} \psi(x) = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2m L^2} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \]

Այստեղից մենք տեսնում ենք, որ՝
\[ \hat{H} \psi(x) = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2m L^2} \psi(x) \]

Այսպիսով, մասնիկի էներգիան հետևյալն է.
\[ E_n = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2m L^2} \]

Ենթադրենք, որ մենք ուզում ենք գտնել \(n=1 \)-ի էներգիան։
\[ E_1 = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} \]

Եզրակացություն

Քվանտային երևույթների հետ կապված խնդիրների լուծումը պահանջում է քվանտային մեխանիկայի հիմնարար սկզբունքների, ինչպիսիք են Հայզենբերգի անորոշության սկզբունքը և պոտենցիալային արկղում մասնիկների էներգիան, ամուր ըմբռնում: Մի քանի օրինակելի խնդիրների և դրանց քննարկումների միջոցով մենք հույս ունենք օգնել ամրապնդել քվանտային մեխանիկայի հիմնական հասկացությունները և դրա կիրառությունները տարբեր ֆիզիկական իրավիճակներում: Չնայած քվանտային մեխանիկան կարող է բարդ թվալ, գործնական խնդիրները և հայեցակարգային ըմբռնումը մեծապես կօգնեն այս հիմնարար նյութի յուրացմանը: