Ինյեկտիվ, սուռեկտիվ և բիյեկտիվ ֆունկցիաների վերաբերյալ հարցերի օրինակներ

Ինյեկտիվ, սուռեկտիվ և բիյեկտիվ ֆունկցիաների հարցերի օրինակներ և քննարկում

Ֆունկցիայի սահմանումը և դրա օգտակարությունը մաթեմատիկայում հաճախ հետաքրքրաշարժ քննարկման թեմա է։ Այս համատեքստում մենք հաճախ հանդիպում ենք ինյեկտիկ, սուրկեկտիվ և բիյեկտիվ ֆունկցիաների նման տերմինների։ Այս երեք տեսակի ֆունկցիաների հասկացողությունը կարևոր է մաթեմատիկական վերլուծության և դրանց գործնական կիրառման համար տարբեր ոլորտներում, ինչպիսիք են համակարգչային գիտությունը, տնտեսագիտությունը և ֆիզիկան։

Ինյեկտիվ, սուռեկտիվ և բիյեկտիվ ֆունկցիաների հասկացումը

Մինչև օրինակելի հարցերի և դրանց քննարկմանը անդրադառնալը, եկեք նախ հիշենք երեք ֆունկցիաների սահմանումները։

1. Ինյեկցիոն ֆունկցիա (մեկ-մեկ ֆունկցիա). f : A → B ֆունկցիան կոչվում է ինյեկցիոն, եթե A տիրույթում յուրաքանչյուր a1-ի և a2-ի համար, եթե f(a1) = f(a2), ապա a1-ը պետք է հավասար լինի a2-ի։ Այլ կերպ ասած, ինյեկցիոն ֆունկցիան ապահովում է, որ A տիրույթում տարբեր տարրերը արտապատկերվեն B կոդոմերենի տարբեր տարրերի վրա։

2. Սյուրյեկտիվ ֆունկցիա (Onto Function): f : A → B ֆունկցիան կոչվում է սյուրյեկտիվ, եթե B կոդոմենում յուրաքանչյուր տարր ունի առնվազն մեկ տարր A տիրույթում, որը կապված է դրան: Այս դեպքում B կոդոմենը չունի «դատարկ» տարրեր կամ A տիրույթից համապատասխան տարրեր:

3. Բիյեկտիվ ֆունկցիա (մեկը մեկին համապատասխանություն). f : A → B ֆունկցիան կոչվում է բիյեկտիվ, եթե այն և՛ ինյեկտիվ է, և՛ սուռեկտիվ։ Սա նշանակում է, որ A տիրույթի յուրաքանչյուր տարր ունի եզակի համարժեք B կոդոմենում, և B կոդոմենի յուրաքանչյուր տարր նույնպես ունի եզակի համարժեք A տիրույթում։

Հարցերի և քննարկումների նմուշներ

Հարց 1. Ինեկտիկ ֆունկցիա

Հարց՝
Տրված է f ֆունկցիա՝ ℝ → ℝ, որը սահմանվում է որպես f(x) = 2x + 3։ Ապացուցեք, որ այս ֆունկցիան ինյեկտիվ ֆունկցիա է։

Քննարկում.
Այս ֆունկցիայի ինյեկտիվ լինելը ապացուցելու համար պետք է ցույց տալ, որ եթե f(a) = f(b) ապա a = b։

Ենթադրենք f(a) = f(b), ասում ենք, որ՝
\[ 2ա + 3 = 2բ + 3 \]

Հանեք 3-ը երկու կողմերից՝
\[ 2ա = 2բ \]

Բաժանեք 2-ի երկու կողմերից էլ՝
\[ a = b \]

Քանի որ մենք ցույց տվեցինք, որ f(a) = f(b)-ն առաջացնում է a = b, ապա f(x) = 2x + 3 ֆունկցիան ինյեկտիկ ֆունկցիա է։

Հարց 2. Սյուրյեկտիվ ֆունկցիա

Հարց՝
Տրված է g ֆունկցիա՝ ℝ → ℝ, որը սահմանվում է որպես g(x) = x^3։ Ապացուցեք, որ այս ֆունկցիան սուռեկտիվ ֆունկցիա է։

Քննարկում.
Որպեսզի ապացուցենք, որ այս ֆունկցիան սուռեկտիվ է, պետք է ցույց տանք, որ ℝ կոդոմենում յուրաքանչյուր y տարրի համար ℝ տիրույթում կա առնվազն մեկ x տարր, որի դեպքում g(x) = y։

Ենթադրենք y ∈ ℝ։ Մենք ուզում ենք գտնել x-ը այնպիսին, որ՝
\[ x^3 = y \]

Վերցրեք \(x = \sqrt[3]{y} \):
\[ g(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y \]

Քանի որ ℝ կոդոմենում յուրաքանչյուր y-ի համար կարող ենք գտնել x, որը \(x = \sqrt[3]{y} \ է), ապա g(x) = x^3 ֆունկցիան սուռեկտիվ ֆունկցիա է։

Հարց 3. Բիյեկտիվ ֆունկցիաներ

Հարց՝
Տրված է h ֆունկցիա՝ ℝ → ℝ, որը սահմանվում է որպես h(x) = x – 1։ Ապացուցեք, որ այս ֆունկցիան բիյեկտիվ է։

Քննարկում.

Ինեկտիկական:
Որպեսզի ապացուցենք, որ h(x)-ը ինյեկտիվ է, պետք է ցույց տանք, որ եթե h(a) = h(b) ապա a = b։

Ենթադրենք h(a) = h(b):
\[ a – 1 = b – 1 \]

Երկու կողմերից էլ ավելացրեք 1:
\[ a = b \]

Քանի որ h(a) = h(b)-ն առաջացնում է a = b, ապա h(x) = x – 1 ֆունկցիան ինյեկտիկ ֆունկցիա է։

Սուրյեկտիվ:
Որպեսզի ապացուցենք, որ h(x)-ը սուռեկտիվ է, պետք է ցույց տանք, որ ℝ կոդոմենում յուրաքանչյուր y տարրի համար ℝ տիրույթում կա առնվազն մեկ x տարր, որի համար h(x) = y է։

Ենթադրենք y ∈ ℝ։ Մենք ուզում ենք գտնել x-ը այնպիսին, որ՝
x – 1 = y

Երկու կողմերից էլ ավելացրեք 1:
x = y + 1

Քանի որ ℝ կոդոմենում յուրաքանչյուր y-ի համար կարող ենք գտնել x, որտեղ x = y + 1 է, ապա h(x) = x – 1 ֆունկցիան սուրկեկտիվ ֆունկցիա է։

Քանի որ h(x)-ը ինյեկտիվ և սուռեկտիվ է, ապա h(x)-ը բիյեկտիվ ֆունկցիա է։

Հարց 4. Ֆունկցիայի տեսակի որոշում

Հարց՝
Տրված է f ֆունկցիան՝ ℕ → ℕ, որը սահմանվում է որպես f(x) = 2x: Որոշեք, թե f-ն ինյեկտիվ, սուռեկտիվ, թե՞ բիյեկտիվ ֆունկցիա է:

Քննարկում.

Ինեկտիկական:
Այս ֆունկցիայի ինյեկտիվ լինելը ապացուցելու համար պետք է ցույց տալ, որ եթե f(a) = f(b) ապա a = b։

Ենթադրենք f(a) = f(b):
\[ 2ա = 2բ \]

Բաժանեք 2-ի երկու կողմերից էլ՝
\[ a = b \]

Հետևաբար, f(x) = 2x-ը ինյեկտիկ ֆունկցիա է։

Սուրյեկտիվ:
Որպեսզի ապացուցենք, որ այս ֆունկցիան սուռեկտիվ է, մենք պետք է ցույց տանք, որ կոդոմենում ℕ յուրաքանչյուր y տարրի համար ℕ տիրույթում կա առնվազն մեկ x տարր, որի f(x) = y հավասար է։

Սակայն նկատի ունեցեք, որ կոդոմենը ℕ է (բնական թվերը), մինչդեռ f(x) = 2x-ը տալիս է միայն զույգ թվեր։ Ենթադրենք, որ y-ը կենտ թիվ է, ℕ-ում չկա x, որպեսզի 2x = y լինի։

Հետևաբար, f(x) = 2x-ը սուռեկտիվ ֆունկցիա չէ։

Քանի որ f(x)-ը սուռեկտիվ չէ, ապա f(x)-ը նաև բիյեկտիվ չէ։

Վերոնշյալ տարբեր օրինակների հիման վրա մենք կարող ենք տեսնել, թե ինչպես ապացուցել և նույնականացնել ֆունկցիաների տեսակները (ինեկտիվ, սուրկեկտիվ, բիյեկտիվ) ֆունկցիաների տարբեր սահմանումներից: Այս ֆունկցիաների հասկացողությունը կարևոր է մաթեմատիկայի և դրա իրական կյանքում կիրառությունների բազմաթիվ ասպեկտներում: