Նորմալ բաշխման ֆունկցիան քննարկող օրինակելի հարցեր

Նորմալ բաշխման ֆունկցիայի հարցերի օրինակներ և քննարկում

Նորմալ բաշխումը, որը հայտնի է նաև որպես Գաուսյան բաշխում, վիճակագրության և տվյալների վերլուծության մեջ ամենահիմնարար հավանականության բաշխումներից մեկն է: Այս բաշխումը բնութագրվում է միջինի շուրջ սիմետրիկ զանգակաձև կորով, որտեղ տվյալների տարածումը արտացոլում է դրա շուրջ արժեքների ստանդարտ շեղումը: Նորմալ բաշխումը ինֆերենցիալ վիճակագրության բազմաթիվ հասկացությունների հիմքն է և լայնորեն կիրառվում է տարբեր ոլորտներում, այդ թվում՝ տնտեսագիտության, հոգեբանության և հասարակական գիտությունների:

Այս հոդվածում մենք կքննարկենք մի քանի օրինակելի խնդիրներ և դրանց լուծումները՝ նորմալ բաշխման ֆունկցիան ավելի լավ հասկանալու համար։

Նորմալ բաշխման հիմնական հասկացությունները

Նորմալ բաշխումը նկարագրվում է երկու հիմնական պարամետրով՝

1. Միջին (μ): Տվյալների բազմության միջինը։
2. Ստանդարտ շեղում (σ): Չափում է, թե որքանով են տվյալները տարածված միջին արժեքի շուրջ։

Նորմալ բաշխման հավանականության խտության ֆունկցիան հետևյալն է՝

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \]

Ահա նորմալ բաշխման միջոցով խնդիրներ լուծելու մի քանի հիմնական քայլեր.

1. Z արժեքի որոշում. Z արժեքը չափանիշ է, որը ցույց է տալիս, թե որքանով են տվյալները հեռու միջինից՝ արտահայտված ստանդարտ շեղման միավորներով, և հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով.
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]

2. Z աղյուսակի օգտագործումը. Z աղյուսակը կամ ստանդարտ նորմալ բաշխման աղյուսակը օգտագործվում է որոշակի Z արժեքից ցածր կամ բարձր տվյալների հավանականությունը կամ տոկոսը գտնելու համար։

Օրինակելի հարցեր և նորմալ բաշխման քննարկում

Հարց 1
Դասարանն ունի մաթեմատիկայի թեստի միջին միավոր 70՝ 10 ստանդարտ շեղումով։ Եթե թեստի միավորները բաշխված են նորմալ, ապա աշակերտների քանի՞ տոկոսն է հավաքել 85-ից բարձր միավոր։

Քննարկում.

1. Z-միավորի որոշում. Նախ, հաշվարկեք Z-միավորը X = 85-ի դեպքում։
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} = \frac{85 – 70}{10} = 1.5 \]

2. Z աղյուսակին նայելով՝ Z = 1.5-ի հավանականության արժեքը մենք փնտրում ենք Z աղյուսակից։ Z = 1.5-ի հավանականության արժեքը 0.9332 է։ Սա նշանակում է, որ արժեքների 93.32%-ը Z = 1.5-ից ցածր են։

3. Տոկոսի հաշվարկ. Քանի որ մեզ անհրաժեշտ է 85-ից բարձր միավոր հավաքած ուսանողների տոկոսը, մենք հաշվարկում ենք 1 – 0.9332 = 0.0668:
Այսպիսով, ուսանողների 6.68%-ը հավաքել է 85-ից ավելի միավոր։

Հարց 2
Երկրում չափահաս տղամարդկանց հասակը հետևում է նորմալ բաշխման՝ միջինը 175 սմ և ստանդարտ շեղումը 6 սմ: Որոշեք այն տղամարդկանց տոկոսը, որոնց հասակը 170 սմ-ից 180 սմ է:

Քննարկում.

1. Որոշեք Z-բալը 170 սմ-ի համար։
\[ Z_{170} = \frac{170 – 175}{6} = – \frac{5}{6} \մոտավորապես -0.83 \]

2. Որոշեք Z-բալը 180 սմ-ի համար։
\[ Z_{180} = \frac{180 – 175}{6} \մոտավորապես 0.83 \]

3. Դիտել Z աղյուսակը։
– Z = -0.83-ի հավանականությունը 0.2033 է։
– Z = 0.83-ի հավանականությունը 0.7967 է։

4. Տոկոսի հաշվարկ.
– 170 սմ-ի և 180 սմ-ի միջև հասակի հավանականությունը 0.7967 – 0.2033 = 0.5934 է։
– Այսպիսով, տղամարդկանց 59.34%-ի հասակը տատանվում է 170 սմ-ից 180 սմ-ի սահմաններում։

Հարց 3
IQ թեստը օգտագործում է նորմալ բաշխում՝ 100 միջինով և 15 ստանդարտ շեղումով։ Ի՞նչ միավոր է 85-րդ պերսենտիլում։

Քննարկում.

1. 85-րդ պերցենտիլի Z արժեքի գտնումը. Z աղյուսակից կամ հաշվիչ օգտագործելով՝ 85-րդ պերցենտիլը համապատասխանում է Z = 1.04-ի։

2. IQ միավորի հաշվարկ.
X = Z\սիգմա + \մու\]
\[ X = 1.04 \times 15 + 100 \]
\[ X = 15.6 + 100 \]
\[ X = 115.6 \]

Այսպիսով, 85-րդ տոկոսի սահմաններում գտնվող IQ միավորը մոտ 115.6 է։

Հարց 4
Եթե ​​հայտնի է, որ ավագ դպրոցի աշակերտների ճանաչողական թեստերի արդյունքների միջին միավորը 65 է՝ 12 ստանդարտ շեղումով, ապա որո՞նք են 25-րդ պերսենտիլի միավորները։

Քննարկում.

1. 25-րդ պերսենտիլի Z արժեքի գտնումը. Z աղյուսակից կամ հաշվիչի միջոցով 25-րդ պերսենտիլի Z-ը մոտավորապես -0.674 է։

2. Թեստերի միավորների հաշվարկ.
X = Z\սիգմա + \մու\]
\[ X = -0.674 \times 12 + 65 \]
\[ X = -8.088 + 65 \]
\[ X \մոտավորապես 56.912 \]

Այսպիսով, 25-րդ տոկոսային արժեքի արժեքը մոտ 56.912 է։

Եզրակացություն

Նորմալ բաշխումը վիճակագրության մեջ կարևոր հասկացություն է, որը թույլ է տալիս մեզ վերլուծել և հասկանալ տվյալները հավանականության տեսանկյունից: Նորմալ բաշխման մոտեցումն օգտագործելով՝ մենք կարող ենք հաշվարկել տոկոսներ, որոշել որոշակի արժեքներ՝ հիմնվելով տոկոսային արժեքների վրա, և համեմատել տվյալները միջինի հետ:

Նորմալ բաշխմամբ խնդիրների լուծումը օգտակար է ոչ միայն քննությունների և ակադեմիական հետազոտությունների համար, այլև ունի գործնական կիրառություն իրական կյանքի բազմաթիվ ոլորտներում, ինչպիսիք են հոգեբանությունը, բիզնեսը և հասարակական գիտությունները: Վերը նշված օրինակների և քննարկումների միջոցով մենք հույս ունենք, որ դուք ավելի լավ կհասկանաք նորմալ բաշխման ֆունկցիան և թե ինչպես այն կիրառել տարբեր համատեքստերում: