Երկանդամային բաշխման ֆունկցիան քննարկող հարցերի օրինակներ

Բինոմիալ բաշխման ֆունկցիան քննարկող օրինակելի հարցեր

Բինոմային բաշխումը դիսկրետ հավանականության բաշխում է, որը նկարագրում է մի շարք անկախ փորձարկումներից բաղկացած փորձի հաջողությունների քանակը՝ երկու հնարավոր արդյունքներով՝ հաջողություն և ձախողում: Յուրաքանչյուր փորձարկում կոչվում է փորձարկում, և բինոմային բաշխումը հաճախ օգտագործվում է այն իրավիճակներում, երբ հետաքրքրություն է ներկայացնում մի շարք անկախ փորձարկումների հաջողությունների քանակը: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք բինոմային բաշխման հիմնական հասկացությունները և կներկայացնենք օրինակներ ու լուծումներ:

Բինոմային բաշխման ֆունկցիայի հիմնական հասկացությունները

Մինչև օրինակելի հարցերի և քննարկմանը անցնելը, եկեք քննարկենք բինոմային բաշխման հետ կապված որոշ հիմնական հասկացություններ։

1. Սահմանում. Բինոմային բաշխումը սահմանվում է որպես «n» անկախ փորձարկումների հաջողությունների գումար, որտեղ յուրաքանչյուր փորձարկում ունի երկու հնարավոր արդյունք՝ հաջողություն (p հավանականությամբ) կամ ձախողում (q = 1 – p հավանականությամբ):

2. Հավանականության ֆունկցիա. Բինոմային բաշխման հավանականության ֆունկցիան հետևյալն է՝
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
Որտեղ՝
– \( P(X = k) \)-ն n փորձերում k հաջողություն ունենալու հավանականությունն է։
– \( \binom{n}{k} \)-ը n-ի համադրություն է, որը վերցնում է k, որը սահմանվում է որպես \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(p\)-ն յուրաքանչյուր փորձի հաջողության հավանականությունն է։
– \((1-p) \)-ն յուրաքանչյուր փորձի ձախողման հավանականությունն է։

3. Ակնկալվող արժեք և շեղում.
– Բինոմային բաշխման սպասվող արժեքը (միջին) \( \mu = np \) է։
– Բինոմային բաշխման դիսպերսիան \( \sigma^2 = np(1-p) \) է։

Հիմա եկեք կիրառենք այս հասկացությունները օրինակելի խնդրի մեջ՝ ավելի խորը հասկացողություն ստանալու համար։

Օրինակ՝ հարց 1. Բինոմային բաշխման հիմնական հաշվարկներ

Հարց՝
Ընկերությունը արտադրում է էլեկտրոնային բաղադրիչներ 0.95 հավանականությամբ, որ յուրաքանչյուր բաղադրիչ կանցնի որակի ստուգումը։ Եթե արտադրվում է 10 բաղադրիչ, հաշվարկեք հավանականությունը, որ ճիշտ 8 բաղադրիչ կանցնի որակի ստուգումը։

Քննարկում.
Այս խնդիրը լուծելու համար կարող ենք օգտագործել բինոմային բաշխման բանաձևը։ Նախ, մենք որոշում ենք հետևյալ պարամետրերը՝
– \( n \) (փորձերի ընդհանուր քանակը) = 10
– \( k \) (հաջողությունների քանակը) = 8
– \(p \) (հաջողության հավանականություն) = 0.95
– \(q \) (ձախողման հավանականություն) = 1 – 0.95 = 0.05

Այնուհետև այս արժեքները փոխարինեք բինոմիալ բաշխման բանաձևով.
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]

Նախ, հաշվարկեք \( \binom{10}{8} \) համակցությունը։
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 անգամ 9 անգամ 8!}{8! անգամ 2!} = \frac{10 անգամ 9}{2 անգամ 1} = 45
\]

Այնուհետև հաշվարկեք (0.95)^8 և (0.05)^2) հավանականությունները։
\[
(0.95)^8 \մոտավորապես 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]

Վերջապես, բազմապատկեք այդ բոլոր արժեքները՝ ստանալու համար.
\[
P(X = 8) = 45 x 0.6634 x 0.0025 x մոտավորապես 0.0744
\]

Այսպիսով, հավանականությունը, որ 10 բաղադրիչներից ճիշտ 8-ը կանցնեն որակի թեստը, մոտ 0.0744 է կամ 7.44%:

Օրինակ՝ հարց 2. Կուտակային հավանականություն

Հարց՝
Դեռևս նույն ընկերության հետ, հաշվարկեք հավանականությունը, որ 10 բաղադրիչներից առնվազն 9-ը կանցնեն որակի թեստը։

Քննարկում.
Այս խնդիրը լուծելու համար մենք պետք է հաշվարկենք կուտակային հավանականությունը։ Հավանականությունը, որ 10 բաղադրիչներից առնվազն 9-ը կանցնեն թեստը, նշանակում է, որ մենք հաշվարկում ենք \(P(X \geq9) \), որը կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]

Բինոմիալ բաշխման բանաձևի կիրառումը՝
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]

Նախ, հաշվարկեք յուրաքանչյուր դեպքի համար համադրությունը.
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]

Այնուհետև հաշվարկեք P(X = 9) և P(X = 10) հավանականությունները՝
\[
P(X = 9) = 10 x (0.95)^9 x 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \մոտավորապես 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 x 0.6302 x 0.05 x մոտավորապես 0.3151
\]

\[
P(X = 10) = 1 x (0.95)^{10} x 1
\]
\[
(0.95)^{10} \մոտավորապես 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]

P(X = geq 9)-ի ընդհանուր հավանականությունը՝
\[
P(X ≤ 9) = 0.3151 + 0.5987 ≤ մոտավորապես 0.9138
\]

Այսպիսով, հավանականությունը, որ 10 բաղադրիչներից առնվազն 9-ը կանցնեն որակի թեստը, մոտ 0.9138 է կամ 91.38%:

Օրինակ՝ հարց 3. Ակնկալվող արժեք և շեղում

Հարց՝
Հաշվարկեք արտադրված 10 բաղադրիչներից որակի թեստը հանձնող բաղադրիչների քանակի սպասվող արժեքը և դիսպերսիան՝ 0.95 հաջողության հավանականությամբ։

Քննարկում.
Օգտագործեք հետևյալ բանաձևը՝
– Ակնկալվող արժեք (միջին) \( \mu = np \)
– Վարիացիա \( \sigma^2 = np(1-p) \)

\(n = 10 \) և \(p = 0.95 \) դեպքում՝
\[
\մու = 10 \անգամ 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 \times 0.95 \times 0.05 = 0.475
\]

Այսպիսով, որակի թեստը հաղթահարող բաղադրիչների քանակի սպասվող արժեքը 9.5 է, իսկ շեղումը՝ 0.475։

Եզրակացություն

Վերոնշյալ երեք օրինակային խնդիրների միջոցով մենք քննարկել ենք, թե ինչպես հաշվարկել հավանականությունը՝ օգտագործելով բինոմային բաշխումը տարբեր իրավիճակներում՝ ճշգրիտ հավանականության, կուտակային հավանականության հաշվարկ և սպասվող արժեքի ու դիսպերսիայի հաշվարկ: Բինոմային բաշխման իմացությունը օգտակար է տարբեր ոլորտներում, ինչպիսիք են արտադրությունը, բժշկական հետազոտությունները և սոցիալական վիճակագրությունը, որտեղ երկու հնարավոր արդյունքներով կրկնվող փորձերի արդյունքները կարող են վերլուծվել՝ որոշումների կայացմանը նպաստելու համար: Հուսով ենք, որ տրված օրինակային խնդիրներն ու քննարկումները կօգնեն ձեզ ավելի խորը հասկանալ բինոմային բաշխումը: