Հնարավորությունների բաշխման վերաբերյալ քննարկման հարցի օրինակ

Օրինակելի հարցեր և հավանականության բաշխման քննարկում

Հավանականության բաշխումը վիճակագրության և հավանականության հիմնարար հասկացություններից մեկն է: Այն օգտագործվում է պատահական թվի տարբեր արժեքների առաջացման հավանականությունը հասկանալու համար: Հավանականության բաշխումները կարող են ունենալ բազմաթիվ ձևեր՝ կախված վերլուծվող տվյալների բնույթից: Հավանականության բաշխումների երկու ամենատարածված տեսակներն են դիսկրետը և անընդհատը: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք մի քանի օրինակելի խնդիրներ և հավանականության բաշխումներ, որոնք կօգնեն մեզ ավելի լավ հասկանալ այս թեման:

Դիսկրետ բաշխում

Դիսկրետ բաշխումը բաշխում է, որը հաշվարկում է դիսկրետ պատահական փոփոխականի հավանականությունը, այսինքն՝ այնպիսի փոփոխականի, որը կարող է ընդունել միայն որոշակի արժեքներ: Դիսկրետ բաշխումների հայտնի օրինակներ են բինոմիալ բաշխումը և Պուասոնի բաշխումը:

Օրինակ 1. Բինոմիալ բաշխում
Բինոմիալ բաշխումը նկարագրում է Բեռնուլիի փորձարկումների շարքում հաջողությունների քանակը։ Բեռնուլիի յուրաքանչյուր փորձարկում ունի երկու արդյունք՝ հաջողություն կամ ձախողում։ Հաջողության հավանականությունը մնում է անփոփոխ ողջ փորձարկման ընթացքում։

Հարց՝
Դեղագործական ընկերությունը նոր դեղամիջոց է փորձարկում 10 հիվանդի վրա: Հավանականությունը, որ դեղամիջոցը ազդում է ցանկացած հիվանդի վրա, 0.7 է: Հաշվարկեք հավանականությունը, որ դեղամիջոցը ազդում է 10 հիվանդից ճիշտ 7-ի վրա:

Քննարկում.
Պատահական փոփոխականը՝ \(X\)-ը, հետևում է \(n = 10\) և \(p = 0.7\) բինոմային բաշխմանը։ Բինոմային հավանականության ֆունկցիան հետևյալն է՝
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]

\(k = 7\)-ի համար՝
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]

Բինոմիալ գործակցի \(\binom{10}{7}\) հաշվարկը.
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]

Հավանականության արժեքների հաշվարկ.
\[ P(X = 7) = 120 անգամ (0.7)^7 անգամ (0.3)^3 \]
\[ P(X = 7) \մոտավորապես 120 \times 0.0823543 \times 0.027 \]
\[ P(X = 7) \մոտավորապես 0.231 \]

Այսպիսով, հավանականությունը, որ դեղամիջոցը ազդում է 10 հիվանդից ճիշտ 7-ի վրա, մոտ 0.231 է կամ 23.1%:

Օրինակ 2. Պուասոնի բաշխում
Պուասոնի բաշխումն օգտագործվում է տրված ժամանակի կամ տարածության մեջ հազվագյուտ իրադարձության տեղի ունենալու քանակը մոդելավորելու համար։

Հարց՝
Խանութը ժամում միջինում ընդունում է 4 հաճախորդ։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ խանութը մեկ ժամում կունենա ճիշտ 5 հաճախորդ։

Քննարկում.
Պատահական փոփոխականը՝ \(X\), հետևում է Պուասոնի բաշխմանը՝ \(\lambda = 4\ պարամետրով։ Պուասոնի հավանականության զանգվածային ֆունկցիան հետևյալն է՝
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]

\(k = 5\)-ի համար՝
\[ P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]

Հաշվարկ՝
\[ P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ P(X = 5) \մոտավոր \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ P(X = 5) \մոտավորապես 0.156 \]

Այսպիսով, հավանականությունը, որ խանութը մեկ ժամվա ընթացքում ընդունի ճիշտ 5 հաճախորդ, մոտ 0.156 է, կամ 15.6%:

Անընդհատ բաշխում

Անընդհատ բաշխումները կիրառվում են, երբ չափվող պատահական փոփոխականը կարող է որոշակի միջակայքում ընդունել ցանկացած արժեք: Անընդհատ բաշխումների հայտնի օրինակներ են նորմալ բաշխումը և էքսպոնենցիալ բաշխումը:

Օրինակ 3. Նորմալ բաշխում
Նորմալ բաշխումը, որը հաճախ անվանում են Գաուսյան բաշխում, բաշխում է, որը լայնորեն կիրառվում է տարբեր ոլորտներում, այդ թվում՝ գիտության, ճարտարագիտության և տնտեսագիտության մեջ։

Հարց՝
Քաղաքում չափահաս տղամարդկանց հասակը սովորաբար բաշխվում է՝ միջինը 170 սմ և ստանդարտ շեղումը 10 սմ: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված տղամարդու հասակը 160-ից 180 սմ է:

Քննարկում.
Մենք պետք է հաշվարկենք z-միավորը 160 սմ և 180 սմ-ի համար։ Z-միավորը սահմանվում է որպես՝
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]

\(X = 160\)-ի համար։
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]

\(X = 180\)-ի համար։
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]

Հիմա մենք պետք է նայենք z աղյուսակում -1-ից մինչև 1 հավանականության արժեքներին։ z = -1-ից մինչև z = 1 արժեքը մոտավորապես 0.6826 է։

Այսպիսով, պատահականորեն ընտրված տղամարդու 160-ից 180 սմ հասակի հավանականությունը մոտավորապես 0.6826 է կամ 68.26%։

Օրինակ 4. Էքսպոնենցիալ բաշխում
Էքսպոնենցիալ բաշխումը օգտագործվում է Պուասոնի պրոցեսում իրադարձությունների միջև ընկած ժամանակը մոդելավորելու համար։

Հարց՝
Խանութ երկու հաճախորդների ժամանման միջև միջին ժամանակը 15 րոպե է։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ երկու հաճախորդների ժամանման միջև ընկած ժամանակը 10 րոպեից պակաս լինի։

Քննարկում.
Էքսպոնենցիալ բաշխումն ունի \(\lambda\) պարամետր, որը միջինի (\(\mu\)) հակադարձն է։ 15 րոպե միջինի դեպքում՝
\[ \lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]

Էքսպոնենցիալ կուտակային բաշխման ֆունկցիան հետևյալն է՝
P(X ≤ x) = 1 – e^{-≤ lambda x}

\(x = 10\)-ի համար՝
\[ P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.0667 ≤ 10} \]
P(X = 10) = 1 – e^{-0.667}
\[ P(X \հավասարում 10) \մոտավորապես 1 – 0.5134 \]
P(X = հավասարում 10) = մոտավորապես 0.4866

Այսպիսով, երկու հաճախորդների ժամանման միջև ընկած ժամանակահատվածի 10 րոպեից պակաս լինելու հավանականությունը կազմում է մոտ 0.4866 կամ 48.66%:

Եզրակացություն

Հավանականության բաշխումները, թե՛ դիսկրետ, թե՛ անընդհատ, շատ օգտակար հասկացություններ են պատահական փոփոխականների վարքագիծը մոդելավորելու և հասկանալու համար: Բինոմալ և Պուասոնի բաշխումները հաճախ օգտագործվում են դիսկրետ փոփոխականների համար, մինչդեռ նորմալ և էքսպոնենցիալ բաշխումները անընդհատ բաշխումների օրինակներ են:

Վերոնշյալ օրինակների միջոցով, հուսով ենք, որ դուք ավելի լավ հասկացաք, թե ինչպես հաշվարկել և մեկնաբանել հավանականությունների բաշխումներում հավանականությունները: Հետևողական պրակտիկայի միջոցով, հավանականության բաշխումները հասկանալու ձեր կարողությունը կբարելավվի և կարող է կիրառվել տարբեր առարկաներում: