Օրինակելի հարցեր և քննարկում երկանդամային բաշխման վերաբերյալ
Բինոմային բաշխումը ամենատարածված դիսկրետ հավանականության բաշխումներից մեկն է: Այն օգտակար է մի շարք նույնական, անկախ փորձարկումների միջոցով հաջողությունների քանակը մոդելավորելու համար, որոնցից յուրաքանչյուրը հանգեցնում է կամ հաջողության, կամ ձախողման: Այս հոդվածում մենք ավելի խորը կանդրադառնանք բինոմային բաշխմանը՝ ներկայացնելով մի քանի օրինակներ և մանրամասն քննարկում:
Ներածություն բինոմիալ բաշխմանը
Բինոմային բաշխման հիմնական բնութագրերը.
1. n՝ փորձերի կամ կրկնությունների քանակը։
2. p՝ յուրաքանչյուր փորձի հաջողության հավանականությունը։
3. q = 1-p՝ յուրաքանչյուր փորձարկման ձախողման հավանականությունը։
Բինոմային բաշխման հավանականության զանգվածային ֆունկցիան հետևյալն է՝
\[ P(X = k) = {n \ընտրել k} p^k (1-p)^{nk} \]
Որտեղ՝
– \( {n \ընտրել k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): Հաջողությունների քանակը ներկայացնող պատահական փոփոխական։
– \( k \): Որոնվող հաջողությունների քանակը։
Հարցերի և քննարկման նմուշներ
Եկեք սկսենք մի քանի օրինակային խնդիրներից՝ բինոմային բաշխման հասկացությունն ավելի մանրամասն հասկանալու համար։
Օրինակ 1. Ուսանողների խմբից ընտրություն
Օրինակ, ենթադրենք, որ մենք ունենք 10 ուսանողից բաղկացած խումբ, և մրցույթին մասնակցելու համար յուրաքանչյուր ուսանող ընտրվելու հավանականությունը 0,3 է: Մենք ուզում ենք իմանալ, թե որքան հավանական է, որ ընտրվի ճիշտ 4 ուսանող:
Քայլ 1. Որոշեք բինոմային բաշխման պարամետրերը։
– \( n = 10 \)
– \( p = 0.3 \)
Քայլ 2։ Օգտագործեք բինոմային բաշխումը՝ \(X = 4 \)-ի հավանականությունը հաշվարկելու համար։
\[ P(X = 4) = {10 \ընտրել 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Հաշվարկելով \( {10 \choose 4} \):
\[ {10 \choose 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Հիմա հաշվարկեք \((0.3)^4 \) և \((0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Այսպիսով,
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \aprox 0.20012 \]
Այսպիսով, հավանականությունը, որ ընտրվի ճիշտ 4 ուսանող, մոտավորապես 0.20012 է կամ 20.012%։
Օրինակ 2. Հավանականությունը փոքր է կամ հավասար է 2-ի
Այժմ, օրինակ, մեզ հարցնում են 2-ից փոքր կամ հավասար ուսանող ընտրվելու հավանականության մասին։
Քայլ 1։ Մենք պետք է հաշվարկենք՝ P(X = 0), P(X = 1) և P(X = 2)։
– \(P(X = 0) \)-ի համար։
\[ P(X = 0) = {10 \choose 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \ընտրել 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– \(P(X = 1) \)-ի համար։
\[ P(X = 1) = {10 \ընտրել 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \ընտրել 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– \(P(X = 2) \)-ի համար։
\[ P(X = 2) = {10 \ընտրել 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \ընտրել 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
Քայլ 2։ Գումարեք հավանականությունները։
P(X = 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
P(X հավասարում 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671
Այսպիսով, 2-ից պակաս կամ հավասար ուսանող ընտրվելու հավանականությունը մոտավորապես 0.7740671 է կամ 77.41%:
Օրինակ 3. Հավանականությունը առնվազն 8 է
Եթե փորձը կատարվում է 12 անգամ, և յուրաքանչյուր փորձի հաջողության հավանականությունը 0.5 է, ապա որքա՞ն է հավանականությունը, որ կլինի առնվազն 8 հաջող փորձ։
Քայլ 1։ Սահմանեք բինոմային պարամետրերը՝ \(n = 12, p = 0.5 \)։
Քայլ 2։ Գտեք \(X \geq 8 \)-ի հավանականությունը։
Սա պահանջում է մի քանի անհատական հավանականությունների հաշվարկ և դրանց գումարում.
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Հաշվեք մեկ առ մեկ՝
– \(P(X = 8) \)-ի համար։
\[ P(X = 8) = {12 \ընտրել 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \ընտրել 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– \(P(X = 9) \)-ի համար։
\[ P(X = 9) = {12 \ընտրել 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \ընտրել 9} = 220 \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– \(P(X = 10) \)-ի համար։
\[ P(X = 10) = {12 \ընտրել 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \ընտրել 10} = 66 \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– \(P(X = 11) \)-ի համար։
\[ P(X = 11) = {12 \ընտրել 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \ընտրել 11} = 12 \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– \(P(X = 12) \)-ի համար։
\[ P(X = 12) = {12 \ընտրել 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \ընտրել 12} = 1 \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
Քայլ 3։ Գումարեք բոլոր հավանականությունները։
\[ P(X ≤ geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 ≤ 0.1938477 \]
Այսպիսով, 12 փորձից առնվազն 8 հաջողության հավանականությունը մոտավորապես 0.1938477 կամ 19.38% է։
Եզրակացություն
Բինոմային բաշխումը վիճակագրության մեջ հիմնարար հասկացություն է, որը կարևոր է բազմաթիվ գործնական կիրառություններում: Հասկանալով, թե ինչպես հաշվարկել հավանականությունները բինոմային բաշխման տարբեր դեպքերի համար, ինչպես ցույց է տրված վերը նշված օրինակներում, մենք կարող ենք կիրառել այս հասկացությունը իրական աշխարհի իրավիճակներում: Այս վարժությունը նաև ամրապնդում է մեր պատկերացումները այն մասին, թե ինչպես են հավանականության կառուցվածքները գործում հստակ և կազմակերպված համատեքստում:
