Թվաբանական շարքերը քննարկող հարցերի օրինակներ

Թվաբանական շարքերի վերաբերյալ հարցերի օրինակներ

Թվաբանական հաջորդականությունները մաթեմատիկայի հիմնարար հասկացություն են, որոնք հաճախ հանդիպում են տարբեր խնդիրներում՝ թե՛ միջնակարգ դպրոցում, թե՛ բարձրագույն կրթության մեջ: Այս հասկացությունը ներառում է թվերի հաջորդականություն, որտեղ յուրաքանչյուր անդամ նախորդ անդամից հաստատուն թիվ գումարելու կամ հանելու արդյունք է: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք մի քանի օրինակելի խնդիրներ և դրանց լուծումները՝ թվաբանական հաջորդականությունների հասկացությունն ավելի լավ հասկանալու համար:

Հաշվարկային շարքերի ըմբռնումը

Թվաբանական շարքը այն շարքն է, որն ունի հաստատուն տարբերություն (տարբերություն) երկու հաջորդական անդամների միջև։ Օրինակ, եթե թվաբանական շարքն ունի առաջին անդամը՝ \(a\) և \(d\) տարբերությունը, ապա անդամները կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝

\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]

Եթե ​​մենք ուզում ենք գտնել այս շարքի n-րդ անդամը, n-րդ անդամի (\(U_n\)) բանաձևը կլինի՝

\[ U_n = a + (n-1)d \]

Միևնույն ժամանակ, թվաբանական շարքի առաջին n անդամների գումարը (\(S_n\)) կարելի է հաշվարկել հետևյալ բանաձևով՝

\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]

Հարցերի և քննարկման նմուշներ

Օրինակ՝ հարց 1

Հարց՝ Տրված է թվաբանական շարք՝ առաջին անդամով՝ \(a = 5\) և ընդհանուր տարբերություն՝ \(d = 3\): Գտեք շարքի 10-րդ անդամը:

Քննարկում.

10-րդ անդամը (\(U_{10}\)) գտնելու համար կարող ենք օգտագործել n-րդ անդամի բանաձևը՝

\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]

Այսպիսով, շարքի 10-րդ անդամը 32-ն է։

Օրինակ՝ հարց 2

Հարց՝ Գտեք այն թվաբանական շարքի առաջին 15 անդամների գումարը, որոնց առաջին անդամը \(a = 4\) է, իսկ ընդհանուր տարբերությունը \(d = 7\):

Քննարկում.

Առաջին 15 անդամների գումարը (\(S_{15}\)) գտնելու համար կարող ենք օգտագործել առաջին n անդամների գումարի բանաձևը՝

\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[ S_{15} = 15 \cdot 53 \]
\[ S_{15} = 795 \]

Այսպիսով, շարքի առաջին 15 անդամների գումարը 795 է։

Օրինակ՝ հարց 3

Հարց. Հայտնի է, որ թվաբանական շարքի 5-րդ անդամը 20 է, իսկ 12-րդ անդամը՝ 48: Գտեք շարքի առաջին անդամը (\(a\)) և ընդհանուր տարբերությունը (\(d\)):

Քննարկում.

Տրված պայմաններից՝

\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]

Մենք ունենք երկու գծային հավասարումներ երկու փոփոխականով, որոնք կարող ենք լուծել՝

1. \(a + 4d = 20 \)
2. \(a + 11d = 48 \)

Հավասարում 1-ից մենք կարող ենք արտահայտել \(a\)-ն \(d\)-ի միջոցով՝

\[ a = 20 – 4d \]

Հիմա մենք փոխարինում ենք \(a\)-ն հավասարում 2-ի մեջ։

\[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
\[ 20 + 7d = 48 \]
\[ 7d = 28 \]
\[ դ = 4 \]

Հիմա մենք \(d\)-ի արժեքը տեղադրում ենք \(a = 20 – 4d\ հավասարման մեջ։

\[ a = 20 – 4 \cdot 4 \]
\[ա = 20 – 16 \]
\[ա = 4 \]

Այսպիսով, շարքի առաջին անդամը 4 է, իսկ ընդհանուր տարբերությունը՝ 4։

Օրինակ՝ հարց 4

Հարց՝ Քանի՞ անդամ է անհրաժեշտ, որպեսզի առաջին անդամով (a = 2) և ընդհանուր տարբերությամբ (d = 5) թվաբանական շարքի գումարը լինի 200։

Քննարկում.

Այս դեպքում մենք պետք է գտնենք առաջին n անդամների (\(S_n\)) գումարը, որը հավասար է 200-ի։ Օգտագործեք առաջին n անդամների գումարի բանաձևը՝

\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]

Փոխարինեք \(a\) և \(d\) արժեքները՝

\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[ n (5n – 1) = 400 \]

Սա քառակուսային հավասարում է։ Այն լուծելու համար մենք փոխում ենք դրա ձևը՝

\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]

Օգտագործեք քառակուսային բանաձևը՝ \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]

Այս դեպքում՝ \(a = 5\), \(b = -1\) և \(c = -400\):

\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]

\(\sqrt{8001}\)-ի արժեքը մոտ է 89.42-ին, ապա՝

\[ n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]

Մենք դրական արժեքներ ենք վերցնում.

\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \մոտավոր \frac{90.42}{10} \]
\[ n \մոտավորապես 9.042 \]

Այսպիսով, անհրաժեշտ անդամների քանակը 9 է (եթե կլորացվի):

Եզրակացություն

Թվաբանական հաջորդականությունները մաթեմատիկայի կարևորագույն թեմա են: Առաջին անդամի, ընդհանուր տարբերության, n-րդ անդամի և առաջին n անդամների գումարի մանրակրկիտ ըմբռնումը անգնահատելի է բազմազան խնդիրներ լուծելու համար: Վերը նշված օրինակներն ու քննարկումները օգտագործելով՝ հույս ունենք, որ ընթերցողները ավելի լավ կհասկանան թվաբանական հաջորդականությունների հիմնական հասկացությունները: