Երկրաչափական շարքերի վերաբերյալ հարցերի օրինակներ
Երկրաչափական հաջորդականությունները մաթեմատիկայի հիմնարար հասկացություն են, որը հաճախ դասավանդվում է ավագ դպրոցում: Այս հաջորդականությունները բաղկացած են թվերի բազմությունից, որոնցից յուրաքանչյուրը նախորդ թվի արտադրյալն է հաստատունի, որը հայտնի է որպես «հարաբերակցություն»: Այս հոդվածը կանդրադառնա երկրաչափական հաջորդականությունների մի քանի օրինակների և քննարկումների՝ հույս ունենալով օգնել ընթերցողներին ավելի լավ հասկանալ այս հասկացությունը:
Երկրաչափական շարքերի ըմբռնումը
Երկրաչափական հաջորդականությունը թվերի հաջորդականություն է, որը կազմվում է առաջին թիվը (a) ֆիքսված հարաբերակցությամբ (r) բազմապատկելով։ Ընդհանուր առմամբ, երկրաչափական հաջորդականության ընդհանուր տեսքը հետևյալն է.
\[ ա, ար, ար^2, ար^3, \լդոտս, ար^{ն-1} \]
Այստեղ՝
– «a»-ն հաջորդականության առաջին անդամն է։
– «r»-ը մեկ անդամի և նախորդ անդամի հարաբերությունն է։
– «n»-ը հաջորդականության n-րդ անդամն է։
Հարցերի և քննարկման նմուշներ
Եկեք քննարկենք մի քանի օրինակելի խնդիրներ՝ երկրաչափական հաջորդականությունների մասին ավելին հասկանալու համար։
Օրինակ՝ հարց 1
Հարց՝
Տրված է երկրաչափական հաջորդականություն, որի առաջին անդամը (a)-ն է 3, իսկ հարաբերակցությունը (r)-ն՝ 2։ Որոշեք՝
1. Հաջորդականության 5-րդ անդամը։
2. Հաջորդականության առաջին 6 անդամների գումարը։
Քննարկում.
1. 5-րդ անդամը (U5) կարելի է հաշվարկել երկրաչափական հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևի միջոցով, այն է՝
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
a = 3, r = 2 և n = 5-ը բանաձևի մեջ փոխարինելով՝
\[ U_5 = 3 \cdot 2^{5-1} \]
\[ U_5 = 3 \cdot 2^4 \]
\[ U_5 = 3 \cdot 16 \]
\[ U_5 = 48 \]
Այսպիսով, հաջորդականության 5-րդ անդամը 48 է։
2. Երկրաչափական հաջորդականության առաջին 6 անդամների գումարը (S6) կարելի է հաշվարկել առաջին n անդամների գումարի բանաձևի միջոցով, այն է՝
S_n = a (r^n – 1}{r – 1})
a = 3, r = 2 և n = 6-ը բանաձևի մեջ փոխարինելով՝
\[ S_6 = 3 \left( \frac{2^6 – 1}{2 – 1} \right) \]
S_6 = 3 \left( \frac{64 – 1}{1} \right) \]
S_6 = 3 ձախ( 63 աջ)
\[ S_6 = 189 \]
Այսպիսով, հաջորդականության առաջին 6 անդամների գումարը 189 է։
Օրինակ՝ հարց 2
Հարց՝
Երկրաչափական հաջորդականությունն ունի 27-րդ 3-րդ անդամը և 243-րդ 5-րդ անդամը։ Որոշեք առաջին անդամի (a) արժեքը և հարաբերակցությունը (r)։
Քննարկում.
Տրված է U3 = 27 և U5 = 243: Օգտագործելով երկրաչափական հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը՝
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
U3-ի համար՝
\[ U_3 = a \cdot r^2 \]
\[ 27 = a \cdot r^2 \] \[ (1) \]
U5-ի համար՝
\[ U_5 = a \cdot r^4 \]
\[ 243 = a \cdot r^4 \] \[ (2) \]
Համեմատելով (1) և (2) հավասարումները՝ a-ն վերացնելու համար՝
\[ \frac{U_5}{U_3} = \frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^2} \]
\[ \frac{243}{27} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ կամ } r = -3 \]
r-ի արժեքը փոխարինեք (1) հավասարման մեջ։
Եթե r = 3՝
\[ 27 = a \cdot 3^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ա = 3 \]
Եթե r = -3՝
\[ 27 = a \cdot (-3)^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ա = 3 \]
Այսպիսով, առաջին անդամը (a) 3 է, իսկ հարաբերակցությունը (r) կարող է լինել 3 կամ -3։
Օրինակ՝ հարց 3
Հարց՝
Գտեք հետևյալ երկրաչափական շարքերի անվերջ գումարը, եթե առաջին անդամը (a) 8 է, իսկ հարաբերակցությունը (r)՝ 1/2։
Քննարկում.
Գեոմետրիկ շարքի անվերջ գումարը կարելի է հաշվարկել հետևյալ բանաձևով.
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 – r} \]
a = 8 և r = 1/2-ը փոխարինելով բանաձևում՝
S_{\infty} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]
S_{\infty} = 8 անգամ 2\]
\[ S_{\infty} = 16 \]
Այսպիսով, երկրաչափական շարքերի անվերջ գումարը 16 է։
Օրինակ՝ հարց 4
Հարց՝
Երկրաչափական հաջորդականությունն ունի 12-րդ անդամը և 108-րդ չորրորդ անդամը։ Որոշեք հաջորդականության հարաբերակցությունը և առաջին անդամը։
Քննարկում.
Տրված են \( U_2 = 12 \) և \( U_4 = 108 \): Օգտագործելով երկրաչափական հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը՝
\(U_2 \)-ի համար՝
\[ U_2 = a \cdot r \]
\[ 12 = a \cdot r \] \[ (1) \]
\(U_4 \)-ի համար՝
\[ U_4 = a \cdot r^3 \]
\[ 108 = a \cdot r^3 \] \[ (2) \]
Համեմատելով (1) և (2) հավասարումները՝ a-ն վերացնելու համար՝
\[ \frac{U_4}{U_2} = \frac{a \cdot r^3}{a \cdot r} \]
\[ \frac{108}{12} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ կամ } r = -3 \]
r-ի արժեքը փոխարինեք (1) հավասարման մեջ։
Եթե r = 3՝
\[ 12 = a \cdot 3 \]
\[ա = 4 \]
Եթե r = -3՝
\[ 12 = a \cdot (-3) \]
\[ա = -4 \]
Այսպիսով, առաջին անդամը (a) կարող է լինել 4 կամ -4, իսկ հարաբերակցությունը (r)՝ 3 կամ -3։
Եզրակացություն
Երկրաչափական հաջորդականությունները կարևոր մաթեմատիկական հասկացություն են, որը հաճախ օգտագործվում է տարբեր ոլորտներում: Հասկանալով հիմունքները և կատարելագործելով խնդիրներ լուծելու հմտությունները՝ մենք, հուսով ենք, կարող ենք ավելի հմուտ դառնալ հասկացությունը հասկանալու և կիրառելու հարցում: Այս հոդվածը ներառում է մի քանի օրինակելի խնդիրներ և քննարկումներ՝ ընթերցողներին օգնելու ավելի խորը սովորել և հասկանալ երկրաչափական հաջորդականությունները: Հուսով ենք, որ սա օգտակար կլինի:
