Հաջորդականությունների և շարքերի վերաբերյալ հարցերի օրինակներ

Հաջորդականությունների և շարքերի վերաբերյալ հարցերի օրինակներ

Հաջորդականությունները և շարքերը մաթեմատիկայի հիմնարար հասկացություններ են, որոնք հաճախ հանդիպում են տարրական դպրոցից մինչև քոլեջ: Հաջորդականությունը թվերի հավաքածու է, որը դասավորված է որոշակի կանոնի համաձայն, մինչդեռ շարքը այդ հաջորդականության անդամների գումարն է: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք մի քանի օրինակելի խնդիրներ և կքննարկենք հաջորդականություններն ու շարքերը:

Օրինակ 1. Թվաբանական հաջորդականություն

Հարց՝
Տրված է թվաբանական հաջորդականություն, որի առաջին անդամը (a) = 3 է, իսկ տարբերությունը (d) = 5։ Որոշեք՝
1. Հաջորդականության 10-րդ անդամը։
2. Հաջորդականության առաջին 20 անդամների գումարը։

Քննարկում.

1. 10-րդ կիսամյակ

Թվաբանական հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը հետևյալն է.
\[
U_n = a + (n-1)d
\]

10-րդ կիսամյակի համար (U_10):
\[
U_{10} = 3 + (10-1) \cdot 5 = 3 + 45 = 48
\]

2. Առաջին 20 անդամների գումարը

Թվաբանական հաջորդականության առաջին n անդամների գումարի (S_n) բանաձևը հետևյալն է.
\[
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)
\]

Առաջին 20 անդամների գումարի համար (S_20):
\[
S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 3 + (20-1) \cdot 5) = 10 (6 + 95) = 10 \cdot 101 = 1010
\]

Օրինակ 2. Երկրաչափական շարքեր

Հարց՝
Տրված է երկրաչափական հաջորդականություն, որի առաջին անդամը (a) = 4 է, իսկ հարաբերակցությունը (r) = 2։ Որոշեք՝
1. Հաջորդականության 6-րդ անդամը։
2. Հաջորդականության առաջին 8 անդամների գումարը։

Քննարկում.

1. 6-րդ կիսամյակ

Երկրաչափական հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը հետևյալն է.
\[
U_n = a \cdot r^{(n-1)}
\]

6-րդ կիսամյակի համար (U_6):
\[
U_{6} = 4 \cdot 2^{(6-1)} = 4 \cdot 2^5 = 4 \cdot 32 = 128
\]

2. Առաջին 8 անդամների գումարը

Երկրաչափական հաջորդականության առաջին n անդամների գումարի (S_n) բանաձևը հետևյալն է.
\[
S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}
\]

Առաջին 8 անդամների գումարի համար (S_8):
\[
S_{8} = 4 \frac{2^8 – 1}{2 – 1} = 4 \frac{256 – 1}{1} = 4 \cdot 255 = 1020
\]

Օրինակ 3. Կոնվերգենտ երկրաչափական անվերջ շարքեր

Հարց՝
Տրված է երկրաչափական շարք, որի առաջին անդամը (a) = 1 է, իսկ հարաբերակցությունը (r) = 1/2։ Որոշեք անվերջ շարքերի գումարը։

Քննարկում.

Համընկնող երկրաչափական շարքի անվերջ շարքի (S_∞) գումարի բանաձևը հետևյալն է.
\[
S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}
\]

Այսպիսով, այս շարքի համար՝
\[
S_{\infty} = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]

Օրինակ 4. Քառակուսի թվերի հաջորդականություններ և շարքեր

Հարց՝
Տրված է քառակուսի թվերի հաջորդականություն, որտեղ առաջին անդամը (U_1) = 1 է, երկրորդ անդամը (U_2) = 4, իսկ երրորդ անդամը (U_3) = 9: Որոշեք հաջորդականության 5-րդ անդամը: Այս հաջորդականությունը թվաբանական է, թե՞ երկրաչափական: Բացատրեք:

Քննարկում.

1. 5-րդ կիսամյակ

Քառակուսի թվերի հաջորդականության օրինաչափությունը հետևյալն է.
\[
U_n = n^2
\]

5-րդ կիսամյակի համար (U_5):
\[
U_{5} = 5^2 = 25
\]

2. Գծի տեսակը

Ստուգելու համար, թե այս հաջորդականությունը թվաբանական է, թե երկրաչափական, ստուգեք անդամների միջև եղած տարբերությունը (ընդհանուր տարբերությունը) և անդամների միջև եղած հարաբերակցությունը։

– Տերմինների միջև տարբերությունը (դ):
\[
U_2 – U_1 = 4 – 1 = 3 \\
U_3 – U_2 = 9 – 4 = 5
\]
Քանի որ տարբերությունը հաստատուն չէ, այս հաջորդականությունը թվաբանական չէ։

– Միջցեղային հարաբերակցություն (r):
\[
\frac{U_2}{U_1} = \frac{4}{1} = 4 \\
\frac{U_3}{U_2} = \frac{9}{4} = 2.25
\]
Քանի որ անդամների միջև հարաբերակցությունը հաստատուն չէ, այս հաջորդականությունը երկրաչափական չէ։

Այսպիսով, քառակուսի թվերի այս հաջորդականությունը ո՛չ թվաբանական է, ո՛չ էլ երկրաչափական, այլ՝ քառակուսի թվերի օրինաչափությանը հետևող հատուկ հաջորդականություն։

Օրինակ 5. Անվերջ թվաբանական շարքեր

Հարց՝
Հնարավո՞ր է հաշվարկել անվերջ թվաբանական շարքի գումարը։ Եթե այո, բերեք օրինակ։ Եթե ոչ, բացատրեք, թե ինչու։

Քննարկում.

Ի տարբերություն երկրաչափական շարքերի, անվերջ թվաբանական շարքերը սովորաբար վերջավոր գումար չունեն։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ յուրաքանչյուր անդամ գծայինորեն աճում կամ նվազում է, ուստի գումարը շարունակում է անորոշ ժամանակով աճել։

Օրինակ, դիտարկենք անվերջ թվաբանական շարք՝ առաջին անդամ 1-ով և ընդհանուր տարբերություն 1-ով։
\[
1 + 2 + 3 + 4 + \ldots
\]

Եթե ​​փորձենք դրանք գումարել, պարզ կդառնա, որ շարքը չի զուգամիտի որևէ ֆիքսված արժեքի, այլ կմոտենա անվերջությանը։ Հետևաբար, անվերջ թվաբանական շարքի գումարը, ընդհանուր առմամբ, անվերջ է և չի կարող հաշվարկվել զուգամիտ երկրաչափական շարքի նման։

-

Այս հոդվածում մենք անդրադարձել ենք մի քանի օրինակային խնդիրների և քննարկել հաջորդականություններն ու շարքերը։ Մենք վերանայել ենք թվաբանական և երկրաչափական հաջորդականությունները, տեսել, թե ինչպես հաշվարկել n-րդ անդամը և դրանց առաջին անդամների գումարը, և պատասխանել ենք անվերջ շարքերի վերաբերյալ հարցերին։ Այս հիմնական հասկացություններն ու օրինակները հասկանալով՝ հուսով ենք, որ դուք ավելի վստահ կզգաք ձեզ մաթեմատիկայում հաջորդականություններին և շարքերին մոտենալիս։