Օրինակելի հարցեր, որոնք քննարկում են տեղերը լրացնելու կանոնները

Օրինակելի հարցեր, որոնք քննարկում են բացատները լրացնելու կանոնները

Տեղի լրացման կանոնը կամ տեղաբաշխման կանոնը մաթեմատիկայի և հավանականության մեջ հիմնարար հասկացություն է, որը շատ օգտակար է բազմաթիվ իրավիճակներում: Այս կանոնը սովորաբար օգտագործվում է առարկաները որոշակի հերթականությամբ կամ տարբեր դասավորություններով դասավորելու համատեքստում: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք տեղաբաշխման կանոնին վերաբերող մի քանի օրինակելի խնդիրներ՝ յուրաքանչյուրի համար մանրամասն լուծումներ տրամադրելով:

Պենդահուլուան

Տարածության լրացումը կոմբինատորիկայի մեջ օգտագործվող տարածված տեխնիկա է, որը մաթեմատիկայի մի ոլորտ է, որն ուսումնասիրում է օբյեկտների դասավորությունը, համադրությունը և ընտրությունը: Կոմբինատորիկայի հիմնական սկզբունքներից մեկը բազմապատկման կանոնն է, որը նշում է, որ եթե գործընթացում կան մի քանի փուլեր, և յուրաքանչյուր փուլ ունի որոշակի քանակությամբ ընտրություններ, ապա հնարավոր դասավորությունների ընդհանուր քանակը կարելի է գտնել՝ բազմապատկելով յուրաքանչյուր փուլում ընտրությունների քանակը:

Օրինակ, եթե մենք ունենք երկու փուլ, որտեղ առաջին փուլն ունի \(m\) ընտրություններ, իսկ երկրորդ փուլը՝ \(n\) ընտրություններ, ապա հնարավոր դասավորությունների ընդհանուր քանակը \(m \xn\) է։

Եկեք կիրառենք այս հայեցակարգը՝ որոշ օրինակելի խնդիրներ լուծելու համար։

Օրինակ 1. Գրքերի դասավորում դարակի վրա

Հարց՝
Կան 5 տարբեր գրքեր և մեկ գրապահարան՝ 5 տեղով։ Քանի՞ ձևով կարելի է դասավորել հինգ գրքերը դարակի վրա։

Քննարկում.
Այս դեպքում մենք պետք է հինգ գրքերը դասավորենք հինգ տարբեր տարածքներում: Սա տեղափոխման խնդիր է, քանի որ հերթականությունը կարևոր է: Այս խնդիրը լուծելու համար մենք կարող ենք օգտագործել տարածությունը լրացնելու կանոնը կամ բազմապատկման կանոնը:

1. Առաջին սենյակի համար մենք ունենք 5 գրքի ընտրություն։
2. Առաջին սենյակում մեկ գիրք տեղադրելուց հետո, երկրորդ սենյակի համար մնում է 4 գրքի ընտրություն։
3. Երրորդ սենյակի համար մենք ունենք 3 մնացած գրքերի ընտրություն և այլն։

Կարգավորումների ընդհանուր թվի հավասարումը հետևյալն է.
\[ 5 անգամ 4 անգամ 3 անգամ 2 անգամ 1 = 5! = 120 \]

Այսպիսով, կան հինգ գրքերը դասավորելու 120 եղանակ։

Օրինակ 2. Բառերի կազմում տարբեր տառերից

Հարց՝
Քանի՞ տարբեր բառեր կարելի է կազմել՝ օգտագործելով «Մաթեմատիկա» բառի բոլոր տառերը՝ առանց դրանք կրկնելու։

Քննարկում.
Նախ պետք է տեսնենք, թե քանի տառ կա «MATHEMATICS» բառում։ Այն ունի 11 տառ, որոնցից մի քանիսը կրկնվում են։ Կրկնվող տառերն են՝
– M մինչև 2
– Մինչև 3
– Մինչև 2
– Մյուս տառերը (E, I, K) հայտնվում են մեկական անգամ։

Կրկնվող տարրերի համար մենք օգտագործում ենք տեղափոխման բանաձևը, մասնավորապես՝
\[ \frac{n!}{n_1! անգամ n_2! անգամ ldots անգամ n_k!} \]
որտեղ \(n\)-ը տարրերի (տառերի) ընդհանուր թիվն է, իսկ \(n_1, n_2, \ldots, n_k\)-ը՝ յուրաքանչյուր առանձին տարրի կրկնությունների թիվն է։

«Մաթեմատիկա» բառի հետ՝
\[ n = 11, n_1 = 2 (Մ)}, n_2 = 3 (Ա)}, n_3 = 2 (Տ)}, n_4 = 1 (Ե)}, n_5 = 1 (Ի)}, n_6 = 1 (Կ)} \]

Այսպիսով, կարելի է կազմել հետևյալ բառերի քանակը՝
\[ \frac{11!}{2! անգամ 3! անգամ 2! անգամ 1! անգամ 1! անգամ 1!} = \frac{39916800}{2 անգամ 6 անգամ 2 անգամ 1 անգամ 1 անգամ 1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]

Կան 1,663,200 տարբեր բառեր, որոնք կարելի է կազմել։

Օրինակ 3. Մարտաբակում համակցությունների քանակի որոշումը

Հարց՝
Մարտաբակի վաճառողը առաջարկում է լցոնի հինգ տարբերակ (պանիր, շոկոլադ, գետնանուշ, բանան և չամիչ): Եթե հաճախորդը ցանկանում է ընտրել հինգ լցոններից երեքը իր մարտաբակի համար, քանի՞ տարբեր համադրություն կարող է ընտրել:

Քննարկում.
Սա համակցման խնդիր է, այլ ոչ թե տեղափոխություն, քանի որ հերթականությունը կարևոր չէ։ Մենք օգտագործում ենք համակցման բանաձևը՝
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
որտեղ n-ը ընտրությունների ընդհանուր թիվն է, իսկ k-ն՝ կատարված ընտրությունների թիվը։

Այս դեպքում, n = 5 և k = 3, հետևաբար՝
\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]

Կան 10 տարբեր համադրություններ՝ 5 տարբերակներից 3 բովանդակություն ընտրելու համար։

Օրինակ 4. Մասնակիցների դասավորությունը խաղում

Հարց՝
Վազքի մրցավազքին մասնակցում է 8 մասնակից։ Քանի՞ դիրքում կարող են տեղավորվել առաջին 3 մասնակիցները։

Քննարկում.
Սա կրկնություն չպահանջող տեղափոխման խնդիր է, քանի որ դիրքը նշանակում է, որ կարգը կարևոր է։ Մենք օգտագործում ենք տեղափոխման բանաձևը՝
\[ P(n, k) = \frac{n!}{(nk)!} \]

Այս դեպքում, \(n = 8 \) և \(k = 3 \), ապա՝
\[ P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40320}{120} = 336 \]

Այսպիսով, կան 8 մասնակիցներից բաղկացած առաջին երեք դիրքերը դասավորելու 336 եղանակ։

Այս հոդվածում մենք քննարկել ենք մի քանի օրինակելի խնդիրներ և դրանց լուծումները՝ օգտագործելով տարածության լրացման կանոններ տարբեր իրավիճակներում՝ սկսած գրքերը դարակի վրա դասավորելուց մինչև մրցույթի հաղթողին որոշելը: Այս հիմունքների ըմբռնումը ձեզ ավելի մեծ վստահություն կտա լուծելու տարբեր կոմբինատորիկ և հավանականության խնդիրներ, որոնց կարող եք հանդիպել: