Pontszorzás anyaga komponensek használatával Egységvektor
A skaláris szorzatot közvetlenül kiszámolhatjuk, ha ismerjük a vektor x, y és z komponenseit. A dan B (ismert vektor).
Ahhoz, hogy ilyen módon skaláris szorzatot kapjunk, először az egységvektorok skaláris szorzatát kell előállítanunk, majd a vektort kifejezzük A dan B összetevőire bontva, szorzását felbontva és egységvektorainak szorzását felhasználva.
Egy vektor i, j dan k merőlegesek egymásra, ami megkönnyíti a számítást. A fent levezetett skaláris szorzóegyenlet segítségével (AB = AB kocsi TETA) a következőt kapjuk:
én. én = j. j. = k. k. = (1)(1) cos 0 = 1
i. j = i. k. = j. k. = (1)(1) cos 90o = 0
Most az A és B vektorokat a komponenseik segítségével fejezzük ki, felbontjuk a szorzatukat, és az egységvektorok szorzatát használjuk.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
mert i . i = j . j = k . k = 1 és i . j = i . k = j . k = 0, akkor:
A . B = AxBx (1)+ AxBy (0)+ Ax Bz (0) +
AyBx (0)+ AyBy (1)+ AyBz (0) +
AzBx (0)+ AzBy (0)+ AzBz (1)
A . B = AxBx (1) + 0 + 0 +
0 + AyBy (1) + 0 +
0 + 0 + AzBz (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
A számítás eredményei alapján arra a következtetésre juthatunk, hogy két vektor skaláris szorzata vagy skaláris szorzata a hasonló komponenseik szorzatainak összege.
1. példakérdés:
Nagy vektor A dan B rendre 5 és 4, ahogy az az alábbi képen is látható. A kialakított szög 90 fok.oSzámold meg skaláris szorzat mindkét vektor.
Vita
Mielőtt kiszámítanánk az A és B vektorok skaláris szorzatát, először ismernünk kell a második vektor komponenseit.
Ax = (5) cos 0o = (5) (1) = 5
Ay = (5) sin 0o = (5) (0) = 0
Az = 0
Bx = (4) cos 90o = (4) (0) = 0
By = (4) sin 90o = (4) (1) = 4
Bz = 0
vektor A csak vektorkomponensei vannak az x tengelyen és a vektoron B csak egy vektorkomponense van az y tengelyen. A z komponens nulla, mert a vektor A dan B az xy síkban van.
Most kiszámítjuk a vektorok skaláris szorzatát A dan B a komponensvektorokkal rendelkező skaláris szorzat egyenlet felhasználásával:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A. B= (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B= 0 + 0 + 0
A. B= 0
Hasonlítsuk össze az első módszerrel
AB = AB kocsi TETA
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Az eredmény ugyanaz.
2. példakérdés:
Nagy vektor A dan B rendre 5, illetve 4, ahogy az az alábbi képen látható. Számítsa ki skaláris szorzat mindkét vektor, ha a létrehozott szög 30 foko
Vita
Mielőtt kiszámítanánk az A és B vektorok skaláris szorzatát, először ismernünk kell a második vektor komponenseit.
A z komponens nulla, mert a vektor A dan B az xy síkban van.
Most kiszámítjuk a vektorok skaláris szorzatát A dan B a komponensvektorokkal rendelkező skaláris szorzat egyenlet felhasználásával:
Hasonlítsa össze az első módszerrel.
