Pontszorzási anyag egységvektor- komponensek használatával
A skaláris szorzatot közvetlenül kiszámolhatjuk, ha ismerjük az A és B vektorok x, y és z komponenseit (az ismert vektorokat).
Ahhoz, hogy ilyen módon skaláris szorzatot kapjunk, először az egységvektorok skaláris szorzatát végezzük el, majd az A és B vektorokat komponenseikben fejezzük ki, a szorzatot felbontjuk, és az egységvektorok szorzatát használjuk fel.
Az i , j és k egységvektorok merőlegesek egymásra, ami megkönnyíti a számításokat. A fent levezetett skaláris szorzóegyenlet ( AB = AB cos theta ) felhasználásával a következőt kapjuk:
i. i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i. j = i. k = j. k = (1)(1) cos 90 0 = 0
Most az A és B vektorokat a komponenseik segítségével fejezzük ki, felbontjuk a szorzatukat, és az egységvektorok szorzatát használjuk.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
mert i . i = j . j = k . k = 1 és i . j = i . k = j . k = 0, akkor:
A . B = AxBx (1)+ AxBy (0)+ Ax Bz (0) +
AyBx (0)+ AyBy (1)+ AyBz (0) +
AzBx (0)+ AzBy (0)+ AzBz (1)
A. B = A × B × (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
A számítás eredményei alapján arra a következtetésre juthatunk, hogy két vektor skaláris szorzata vagy skaláris szorzata a hasonló komponenseik szorzatainak összege.
1. példakérdés:
Nagy vektor A dan B rendre 5 és 4, ahogy az az alábbi képen is látható. A kialakított szög 90 fok.oSzámold meg skaláris szorzat mindkét vektor.
Vita
Mielőtt kiszámítanánk az A és B vektorok skaláris szorzatát, először ismernünk kell a második vektor komponenseit.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
Bz = 0
Az A vektornak csak az x tengelyen, a B vektornak pedig csak az y tengelyen vannak vektorkomponensei. A z komponens nulla, mivel az A és B vektorok az xy síkban vannak.
Most kiszámítjuk az A és B vektorok skaláris szorzatát a komponensvektorokkal rendelkező skaláris szorzat egyenlet segítségével:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A. B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Hasonlítsuk össze az első módszerrel
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Az eredmény ugyanaz.
2. példakérdés:
Nagy vektor A dan B rendre 5, illetve 4, ahogy az az alábbi képen látható. Számítsa ki skaláris szorzat mindkét vektor, ha a létrehozott szög 30 foko
Vita
Mielőtt kiszámítanánk az A és B vektorok skaláris szorzatát, először ismernünk kell a második vektor komponenseit.
A z komponens nulla, mivel az A és B vektorok az xy síkban vannak.
Most kiszámítjuk az A és B vektorok skaláris szorzatát a komponensvektorokkal rendelkező skaláris szorzat egyenlet segítségével:
Hasonlítsa össze az első módszerrel.
