Keresztszorzási anyag egységvektor- komponensek használatával
A vektorok komponenseinek ismeretében közvetlenül kiszámíthatjuk a vektoriális szorzatot. Az eljárás ugyanaz, mint a skaláris szorzatnál . Először megszorozzuk az i , j és k egységvektorokat . Ugyanezen egységvektorok közötti vektorszorzat nulla.
i x i = j x j = k x k = 0
A korábban levezetett vektorszorzási egyenletre hivatkozva (A x B = AB bűn θ) és a vektorszorzás antikommutatív tulajdonsága (A x B = - B x A), akkor a következőt kapjuk:
i x j = -j x i = k
j × k = -k × j = i
k x i = – i x k = j
Most az A és B vektorokat a komponenseik segítségével fejezzük ki , felbontjuk a szorzatukat, és az egységvektorok szorzatát használjuk.
A x B= (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
mert i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, tehát:
A x B = AxBx (0)+ AxBy (k+) Ax Bz (-j+)
AyBx (-k+) AyBy (0) + AyBz (i+)
AzBx (j+) AzBy (-i+) AzBz (0)
A x B = AxBy (k+) Ax Bz (-j+)
AyBx ( -k ) + AyBz ( i ) +
A z B x ( j ) + A z B y ( -i )
A x B = AxBy (k+) Ax Bz (-j+) AyBx (-k+) AyBz (i+) AzBx (j+) AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - Ax Bz)j + (AxBy - AyBx )k
Ha C = A x B , akkor C komponensei a következők:
Cx = AyBz – AzBy
Cy = A z B x – A x B z
Cz = A x B y – A y B x
