Példakérdések és a körszektorok megvitatása
A kör szektorai fontos téma a matematikában, gyakran szerepelnek a vizsgákon és a gyakorló kérdésekben. A szektor a kör két sugár és az azokat összekötő ív által határolt része. Ebben a cikkben számos példafeladatot fogunk tárgyalni a kör szektoraival kapcsolatban, részletes magyarázatokkal együtt, hogy elmélyítsük a megértésünket.
Körszektor definíciója
Egy kör szektora a kör egy olyan szektora, amelyet két sugár és egy ív határol. Egy szektor területét a kör teljes területének hányadosa alapján számítják ki. A szektor kiszámításához használt fő képlet a következő:
– Juring területe: \[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} szorozva \pi szorozva r^2\]
– Ívhossz: \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \szor 2\pi r\]
Di mana:
– \( \theta \) a szektorszög nagysága fokban,
– \(r \) a kör sugara,
– A \( \pi \) egy állandó (körülbelül 3.14159).
Contoh Soal és Tanulás
1. kérdés:
Adott egy 10 cm sugarú kör és egy 90°-os középponti szögű cikk. Számítsd ki a cikk területét!
Vita:
Ismert:
– \(r = 10 \) cm
– \( \théta = 90^\circ \)
A szektor területének képletét használjuk:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} szorozva \pi szorozva r^2\]
\[L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (10\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{4} \times \pi \times 100\text{cm}^2\]
\[L_juring = 25\pi\text{ cm}^2\]
Ha a \( \pi \) értéke 3.14, akkor:
\[L_juring = 25 \x 3.14\cm}^2 = 78.5\cm}^2\]
Tehát az ágazat területe 38 465 cm².
2. kérdés:
Egy körcikk sugara 7 cm, ívhossza pedig 11 cm. Határozd meg a körcikk középponti szögét radiánban!
Vita:
Ismert:
– \(r = 7 \) cm
– Ívhossz \( P_b = 11 \text{ cm} \)
Az ívhossz képletét használjuk a θ(θ) szög meghatározásához:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} szorozva 2\pi r\]
Mivel a szöget radiánban kell meghatároznunk, a 360°-ot \(2\pi\) radiánra cseréljük:
\[P_b = \théta \szor r\]
\[11 = \théta \szor 7\]
\[\théta = \frac{11}{7}\]
\[\théta \kb. 1.57 \text{ rad}\]
Tehát a szektor középponti szöge 1.57 radián.
3. kérdés:
Egy 16 cm sugarú kör szektora 200 cm² területet foglal el. Számítsd ki a szektor középponti szögét!
Vita:
Ismert:
– \(r = 16 \) cm
– \(L_juring = 200 \text{ cm}^2 \)
A szektor területképletét használjuk a θ(θ) meghatározásához:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} szorozva \pi szorozva r^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} szorozva \pi szorozva (16)^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \szor \pi \szor 256\]
\[200 = \frac{\theta \szor 256 \pi}{360^\circ}\]
\[200 \szor 360^\circ = \théta \szor 256 \szor 3.14\]
\[72000 = \théta \szor 256 \szor 3.14\]
\[72000 = \théta \szor 804.64\]
\[\théta = \frac{72000}{804.64}\]
\[\théta \kb. 89.45^\circ\]
Tehát a szektor középponti szöge körülbelül 89.45°.
4. kérdés:
Számítsd ki egy olyan körcikk teljes kerületét, amelynek sugara 12 cm, középponti szöge pedig 120°!
Vita:
Ismert:
– \(r = 12 \) cm
– \( \théta = 120^\circ \)
Először is megkeressük az ív hosszát:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} szorozva 2\pi r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \szor 2\pi \szor 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \szor 2\pi \szor 12\]
\[P_b = 8\pi\szöveg{cm}\]
Ezután kiszámítjuk a szektor kerületét (ívhossz + két sugár):
\[K = 2r + P_b\]
\[K = 2 × 12 cm + 8 pi cm]
\[K = 24\cm + 8\pi\cm]
Ha a \( \pi \) értéke 3.14, akkor:
\[K = 24\cm} + 8 szorozva 3.14\cm}\]
\[K = 24\cm + 25.12\cm]
\[K = 49.12\cm}\szöveg]
Tehát a szektor teljes kerülete 49.12 cm.
5. kérdés:
Ha egy 18 cm sugarú kör egyik szektora 45°-os szöget zár be vele, határozd meg az ív hosszát és a szektor területét.
Vita:
Ismert:
– \(r = 18 \) cm
– \( \théta = 45^\circ \)
1. Ívhossz:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} szorozva 2\pi r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \szor 2\pi \szor 18\cm}}
\[P_b = \frac{1}{8} \szor 36\pi\cm}}
\[P_b = 4.5\pi\szöveg{cm}\]
Ha a \( \pi \) értéke 3.14, akkor:
\[P_b = 4.5 × 3.14 cm} \kb. 14.13 cm}]
Tehát az ív hossza körülbelül 14.13 cm.
2. Szektorterület:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} szorozva \pi szorozva r^2\]
\[L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (18\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{8} \times \pi \times 324\text{cm}^2\]
\[L_juring = 40.5\pi\text{ cm}^2\]
Ha a \( \pi \) értéke 3.14, akkor:
\[L_juring = 40.5 \× 3.14 \cm}^2 \kb. 127.17 \cm}^2\]
Tehát az ágazat területe körülbelül 127.17 cm².
Következtetés
Ebben a cikkben számos példafeladatot tárgyaltunk a kör szektoraival és azok megoldásaival kapcsolatban. A kör szektorainak megértésének lényege a szektor területének és az ív hosszának kiszámítására szolgáló alapvető képletek elsajátítása. A gyakori gyakorlás és annak megértése, hogy hogyan alkalmazzuk ezeket a képleteket különböző típusú problémákra, remélhetőleg segíteni fog a hasonló problémák megoldásában való képességed fejlesztésében.
