Példa az elektromos térerősségre vonatkozó kérdésekre
Az elektromos térerősség a fizika egyik alapvető fogalma, amely egy adott pontban lévő elektromos tér erősségét írja le. Az elektromos mezőket elektromos töltések hozzák létre, és befolyásolhatják a mezőn belüli más töltéseket. A koncepció jobb megértése érdekében nézzünk meg néhány, az elektromos térerősséggel kapcsolatos példafeladatot és azok megoldását.
Az elektromos mezők alapjai
Mielőtt belemennénk a példafeladatokba, tekintsük át egy kicsit az elektromos mezők alapfogalmát. Az elektromos térerősség (\(E\)) a tér egy pontjában az az erő (\(F\)) egységnyi töltésre (\(q\)) vonatkoztatva, amelyet egy kis teszttöltés az adott pontban tapasztal:
\[E = \frac{F}{q} \]
Dimana:
– \(E\) az elektromos térerősség (N/C vagy V/m),
– \(F\) a töltésre (N) ható elektromos erő,
– \(q\) a teszttöltés nagysága (C).
Ha az elektromos tér forrása egy pontszerű töltés \(Q\), akkor a töltéstől \(r\) távolságra az elektromos térerősséget a következő egyenlet adja meg:
\[E = \frac{k \cdot |Q|}{r^2} \]
Dimana:
– k a Coulomb-állandó (8.99 × 10^9, N m^2/C^2),
– \(Q\) a forrástöltés (C),
– \(r\) a forrástöltés és a megfigyelési pont közötti távolság (m).
1. példakérdés: Pontszerű töltés elektromos mezője
Kérdés: Egy \(Q\) \(5 \x 10^{-6} \, \text{C}\) nagyságú töltést helyezünk az origóba (0,0). Számítsd ki az elektromos térerősséget a töltéstől 2 méter távolságra.
Megoldás:
Egy pontszerű töltés elektromos térerősség-egyenletéből a következőképpen számíthatjuk ki az elektromos térerősséget:
\[E = \frac{k \cdot |Q|}{r^2} \]
Adja meg a \(k\), \(Q\) és \(r\) értékeit:
\[E = \frac{8.99 \szor 10^9 \szor 5 \szor 10^{-6}}{2^2} \]
\[E = \frac{8.99 \szor 10^9 \szor 5 \szor 10^{-6}}{4} \]
\[E = \frac{44.95 \szor 10^3}{4} \]
\[E = 11.2375 \szor 10^3 \]
\[ E = 11 237,5 \, \text{N/C} \]
Tehát a töltéstől 2 méter távolságra az elektromos térerősség \(11 237,5 \, \text{N/C}\).
2. példa: Elektromos mezők szuperpozíciója
Kérdés: Két töltés, \(Q_1 = 4 × 10^{-6} \, \text{C}\) és \(Q_2 = -3 × 10^{-6} \, \text{C}\) egymástól 3 méter távolságra van elhelyezve. Számítsa ki az elektromos térerősséget a két töltés közötti középpontjban.
Megoldás:
Először kiszámoljuk az egyes töltések által a középpontjában létrehozott elektromos mezőt.
A \(Q_1\) díjért:
\[ r_1 = \frac{3}{2} = 1.5 \, \text{m} \]
\[ E_1 = \frac{k \cdot |Q_1|}{r_1^2} \]
\[E_1 = \frac{8.99 \szor 10^9 \szor 4 \szor 10^{-6}}{1.5^2} \]
\[E_1 = \frac{35.96 \szor 10^3}{2.25}}
\[E_1 = 15.9822 \szor 10^3 \]
\[ E_1 = 15 982,2 \, \text{N/C} \]
A \(Q_2\) díjért:
\[ r_2 = 1.5 \, \text{m} \]
\[ E_2 = \frac{k \cdot |Q_2|}{r_2^2} \]
\[E_2 = \frac{8.99 \szor 10^9 \szor 3 \szor 10^{-6}}{1.5^2} \]
\[E_2 = \frac{26.97 \szor 10^3}{2.25}}
\[E_2 = 11.9822 \szor 10^3 \]
\[ E_2 = 15 982,2 \, \text{N/C} \]
Mivel a \(Q_1\) pozitív és a \(Q_2\) negatív, az elektromos mezőik a középpontjukban távolodni fognak egymástól. Tehát összeadjuk a két elektromos mezőt:
\[ E = E_1 + E_2 \]
\[E = 15 982,2 + 11 982,2 \]
\[ E = 11 237,5 \, \text{N/C} \]
Tehát a két töltés közötti középpontjban az elektromos térerősség \(27 964,4 \, \text{N/C}\).
3. példa: Dipólus elektromos mezője
Kérdés: Egy elektromos dipólus két töltésből áll \(\pm 4 \times 10^{-6} \, \text{C}\), amelyek 1 cm távolságra vannak egymástól. Számítsa ki az elektromos térerősséget a dipólus középpontjától 1 méterre lévő pontban a dipólus tengelyén.
Megoldás:
A dipólus tengelye mentén mért elektromos térerősséget (a dipólusok töltései közötti távolsághoz képest elég nagy távolságok esetén) a következőképpen adjuk meg:
\[E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3} \]
Ahol \(p\) az elektromos dipólusmomentum (\(p = q \cdot d\)), \(d\) a dipólusok töltései közötti távolság, és \(r\) a dipólus középpontjától a megfigyelési pontig mért távolság.
Először számítsd ki a dipólusmomentumot:
\[ p = q \cdot d \]
\[ p = 4 \szor 10^{-6} \cdot 0.01 \]
\[ p = 4 szor 10^{-8} \, \text{C m} \]
Ezután számítsa ki az elektromos térerősséget:
\[E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3} \]
\[E = \frac{8.99 \times 10^9}{1} \cdot \frac{2 \times 4 \times 10^{-8}}{1^3}}]
\[E = 8.99 \szor 10^9 \cdot 8 \szor 10^{-8} \]
\[E = 7.192 \szor 10^2 \]
\[ E = 11 237,5 \, \text{N/C} \]
Tehát a dipólus középpontjától 1 méterre, a dipólus tengelyén lévő pontban az elektromos térerősség \(719.2 \, \text{N/C}\).
Következtetés
Az elektromos térerősség megértése kulcsfontosságú a fizikában és alkalmazásaiban. A fenti példafeladatok bemutatják, hogyan használhatók az elektromos mezők alapelvei a térerősségek kiszámítására különböző töltéskonfigurációkban. Az ilyen gyakorlófeladatok nagyon hasznosak a Coulomb-törvény és az elektromos tér szuperpozíciójának fogalmának és alkalmazásának megértésében. Több feladat megértésével és gyakorlásával elmélyíthetjük a különböző rendszerekben lévő elektromos kölcsönhatások megértését.
