Egzanp Kesyon ki Diskite sou Vektè ak Operasyon yo
Vektè yo se yon konsèp fondamantal nan matematik ak fizik, yo souvan itilize yo nan plizyè domèn syantifik. Vektè yo reprezante kantite ak tou de mayitid ak direksyon. Anba la a gen kèk egzanp pwoblèm ki enplike vektè ak diskisyon sou divès operasyon tankou adisyon, soustraksyon, ak miltiplikasyon pa eskalè. Atik sa a pral bay yon konpreyansyon apwofondi sou kijan pou rezoud pwoblèm ki enplike vektè.
1. Adisyon Vektè
Egzanp Kesyon 1
Bay de vektè sou fòm konpozan:
Yon = (3, 4)
B = (1, 2)
Kalkile rezilta adisyon vektè A ak B yo.
Pembahasan
Adisyon vektè fèt lè nou ajoute konpozan korespondan de vektè yo. Kidonk, nou ka kalkile
\[
A + B = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
Kidonk, rezilta adisyon vektè A ak B yo se (4, 6).
2. Soustraksyon vektè
Egzanp Kesyon 2
Bay de vektè sou fòm konpozan:
C = (5, 7)
D = (2, 3)
Kalkile rezilta soustrè vektè C nan vektè D.
Pembahasan
Soustraksyon vektè fèt lè nou soustrè konpozan korespondan de vektè yo. Kidonk, nou ka kalkile
\[
C – D = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
Kidonk, rezilta soustrè vektè C ak D yo se (3, 4).
3. Miltiplikasyon Vektè pa Eskalè
Egzanp Kesyon 3
Etandone vektè E = (4, -2) ak eskalè k = 3. Kalkile rezilta miltipliye vektè E pa eskalè k.
Pembahasan
Miltiplikasyon yon vektè pa yon eskalè fèt lè nou miltipliye chak konpozan vektè a pa eskalè a. Kidonk, nou ka kalkile
\[
k E = 3 (4, -2) = (3 4, 3 -2) = (12, -6)
\]
Kidonk, rezilta miltipliye vektè E a pa eskalè k a se (12, -6).
4. Pwodwi eskalè
Egzanp Kesyon 4
Bay de vektè sou fòm konpozan:
F = (1, 3)
G = (4, 2)
Kalkile pwodwi eskalè vektè F ak G yo.
Pembahasan
Pwodwi eskalè de vektè se sòm pwodwi konpozan korespondan yo. Kidonk, nou ka kalkile
\[
F ∫G = (1 4) + (3 2) = 4 + 6 = 10
\]
Kidonk, pwodwi eskalè vektè F ak G se 10.
5. Pwodui kwaze
Egzanp Kesyon 5
Bay de vektè an 3D:
H = (2, -3, 1)
Mwen = (1, 4, -2)
Kalkile pwodui vektè H ak I yo.
Pembahasan
Pwodui vektè de vektè 3 dimansyon yo pwodui pa detèminan matris ki gen konpozan tou de vektè yo. Vektè ki rezilta a gen konpozan sa yo:
\[
H \times I = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & -3 & 1 \\
1 & 4 & -2 \\
\end{vmatrix}
\]
Lè nou kalkile detèminan an, nou jwenn:
\[
H ∫ fwa I = (i((-3)(-2) – (1)(4)) – j(2(-2) – (1)(1)) + k(2(4) – (-3)(1)))
\]
\[
= (\mathbf{i}(6 – 4) – \mathbf{j}(-4 – 1) + \mathbf{k}(8 + 3))
\]
\[
= (\mathbf{i}(2) – \mathbf{j}(-5) + \mathbf{k}(11))
\]
\[
= (2, 5, 11)
\]
Kidonk, pwodui vektè H ak I yo se (2, 5, 11).
6. Longè oswa mayitid vektè a
Egzanp Kesyon 6
Etandone yon vektè J = (6, 8). Kalkile longè (magnitud) vektè J la.
Pembahasan
Yo kalkile longè (magnitud) yon vektè avèk fòmil sa a:
\[
J = \sqrt{x^2 + y^2}
\]
Nan ka sa a, \(x = 6\) ak \(y = 8\), kidonk:
\[
\| J \| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
\]
Kidonk, longè (magnitud) vektè J a se 10.
7. Vektè Inite
Egzanp Kesyon 7
Etandone yon vektè K = (-5, 12). Jwenn vektè inite K a.
Pembahasan
Yon vektè inite se yon vektè ki gen yon longè 1. Pou jwenn vektè inite yon vektè, nou dwe divize chak konpozan vektè a pa longè (magnitud) vektè a. Longè vektè K a ka kalkile kòm:
\[
\| K \|= \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
Lè sa a, vektè inite K a se:
\[
\hat{K} = \left(\frac{-5}{13}, \frac{12}{13}\right)
\]
Kidonk, vektè inite vektè K a se \(\left(\frac{-5}{13}, \frac{12}{13}\right)\).
Konklizyon
Nan egzanp ki anwo yo, nou wè kijan vektè yo ak operasyon yo fonksyone nan divès kontèks. Adisyon ak soustraksyon vektè enplike adisyon ak soustraksyon konpozan korespondan yo. Miltiplikasyon vektè ka fèt sou fòm pwodui eskalè oswa pwodui eskalè, epi sou fòm pwodui kwaze pou vektè 3D. Nou ka menm detèmine longè yon vektè epi jwenn vektè inite li.
Konprann konsèp debaz sa yo enpòtan anpil paske vektè yo itilize nan plizyè aplikasyon nan yon pakèt domèn, tankou fizik, jeni, ak grafik òdinatè. Avèk ase pratik, nou ka metrize operasyon sa yo epi aplike yo nan analiz ak rezolisyon pwoblèm ki pi konplèks.
