Egzanp Kesyon ki Diskite sou Transfòmasyon nan Plan Kartezyen an
Transfòmasyon nan plan Kartezyen an se yon sijè enpòtan nan matematik, patikilyèman nan jeyometri. Transfòmasyon sa yo enplike plizyè operasyon tankou translasyon, refleksyon, wotasyon ak dilatasyon, ki vize deplase oswa chanje fòm yon objè nan yon plan bidimensyonèl. Atik sa a pral revize plizyè pwoblèm egzanp epi diskite sou yo ki gen rapò ak transfòmasyon nan plan Kartezyen an.
Kalite Transfòmasyon
Anvan nou antre nan pwoblèm egzanp lan, an nou premye egzamine kalite transfòmasyon sa yo:
1. Tradiksyon (Shift)
Translasyon se deplasman yon pwen oswa yon objè nan yon plan pa yon sèten distans nan yon sèten direksyon. Yo ka defini translasyon kòm:
\[
(x, y) \rightarrow (x+a, y+b)
\]
kote \(a\) ak \(b\) se distans deplasman orizontal ak vètikal yo.
2. Refleksyon
Refleksyon se refleksyon yon pwen oswa yon objè atravè yon aks, kit se aks x la, aks y la, oswa yon lòt liy. Pa egzanp, refleksyon atravè aks x la:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
3. Wotasyon (Vire)
Wotasyon se wotasyon yon pwen oswa yon objè alantou yon pwen santral pa yon sèten ang. Yon wotasyon nan sans kontrè zegwi yon mont pa yon ang \(\theta\) ka eksprime kòm:
\[
(x, y) \rightarrow (x \cos \theta – y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)
\]
4. Dilatasyon (Dekale)
Dilatasyon se chanjman nan gwosè yon objè pa yon sèten faktè echèl. Si faktè echèl la se \(k\), dilatasyon an ka eksprime kòm:
\[
(x, y) \rightarrow (kx, ky)
\]
Egzanp Kesyon ak Diskisyon
Kesyon 1: Tradiksyon
Kesyon:
Fè yon translasyon nan pwen \(A(2, 3)\) avèk yon deplasman 5 inite adwat ak 4 inite anlè.
Diskisyon:
Translasyon \(5\) inite adwat vle di ogmante kowòdone x la pa \(5\). Deklarasyon "4 inite anlè" vle di ogmante kowòdone y la pa \(4\). Rezilta translasyon an se:
\[
(x, y) \rightarrow (x+5, y+4)
\]
Kidonk pwen \(A(2, 3)\) apre translasyon an vin tounen:
\[
(x+5, y+4) (2+5, 3+4) (7, 7)
\]
Kidonk, pwen \(A(2, 3)\) apre translasyon an se \(A'(7, 7)\).
Kesyon 2: Refleksyon
Kesyon:
Reflechi pwen \(B(-4, 7)\) la sou aks y la.
Diskisyon:
Refleksyon sou aks y la chanje kowòdone x la an negatif kowòdone x orijinal la, alòske kowòdone y la rete menm jan an.
\[
(x, y) \rightarrow (-x, y)
\]
Kidonk pwen \(B(-4, 7)\) apre refleksyon an vin tounen:
\[
(x, y) \rightarrow (-(-4), 7) \rightarrow (4, 7)
\]
Kidonk, pwen \(B(-4, 7)\) a apre refleksyon sou aks y la se \(B'(4, 7)\).
Kesyon 3: Wotasyon
Kesyon:
Thorne pwen \(C(1, 2)\) a pa \(90^\circ\) nan sans kontrè zegwi mont lan avèk sant lan nan orijin \((0, 0)\).
Diskisyon:
Yon wotasyon \(90^\circ\) nan sans kontrè zegwi mont lan ka eksprime kòm:
\[
(x, y) \rightarrow (-y, x)
\]
Kidonk pwen \(C(1, 2)\) apre wotasyon an vin tounen:
\[
(x, y) \rightarrow (-2, 1)
\]
Kidonk, pwen \(C(1, 2)\) a apre yon wotasyon \(90^\circ\) nan sans kontrè zegwi mont lan se \(C'(-2, 1)\).
Kesyon 4: Dilatasyon
Kesyon:
Dilate pwen \(D(3, 4)\) la avèk yon faktè echèl \(k = 2\).
Diskisyon:
Dilatasyon ak yon faktè echèl \(2\) vle di miltipliye tou de kowòdone yo pa \(2\).
\[
(x, y) \rightarrow (2x, 2y)
\]
Kidonk pwen \(D(3, 4)\) apre dilatasyon an vin tounen:
\[
(x, y) \rightarrow (2 \times 3, 2 \times 4) \rightarrow (6, 8)
\]
Kidonk, pwen \(D(3, 4)\) a apre dilatasyon ak faktè echèl \(2\) a se \(D'(6, 8)\).
Kesyon 5: Konbinezon Transfòmasyon yo
Kesyon:
Reflechi sou aks x la epi dilate ak yon faktè echèl \(k = 0.5\) nan pwen \(E(8, -6)\) la.
Diskisyon:
Premye etap la se reflechi sou aks x la:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
\[
(8, -6) \rightarrow (8, 6)
\]
Dezyèm etap la se fè yon dilatasyon ak yon faktè echèl \(0.5\):
\[
(x, y) \rightarrow (0.5x, 0.5y)
\]
\[
(8, 6) \rightarrow (0.5 \times 8, 0.5 \times 6) \rightarrow (4, 3)
\]
Kidonk, pwen \(E(8, -6)\) a apre refleksyon sou aks x la ak dilatasyon pa faktè echèl \(0.5\) a se \(E'(4, 3)\).
Kesyon 6: Transfòmasyon avèk wotasyon ak translasyon
Kesyon:
Thorne pwen \(F(-3, 4)\) a pa \(180^\circ\) nan sans kontrè zegwi mont lan, answit translate rezilta a avèk vektè \((2, -1)\) la.
Diskisyon:
Premye etap la se pou vire pa \(180^\circ\) nan sans kontrè zegwi mont lan:
\[
(x, y) \rightarrow (-x, -y)
\]
\[
(-3, 4) \rightarrow (3, -4)
\]
Dezyèm etap la se fè yon translasyon avèk vektè \((2, -1)\):
\[
(x, y) \rightarrow (x+2, y-1)
\]
\[
(3, -4) (3+2, -4-1) (5, -5)
\]
Kidonk, pwen \(F(-3, 4)\) apre wotasyon \(180^\circ\) ak translasyon pa vektè \((2, -1)\) se \(F'(5, -5)\).
Konklizyon
Transfòmasyon nan plan Kartezyen an se yon konsèp enpòtan nan jeyometri, ki anglobe plizyè operasyon tankou translasyon, refleksyon, wotasyon ak dilatasyon. Lè nou konprann kijan chak kalite transfòmasyon fonksyone, nou ka fasilman chanje pozisyon oswa fòm yon objè nan plan an. Atravè egzanp ki anwo yo, nou ka wè aplikasyon pratik divès transfòmasyon yo ak kijan yo ka konbine pou reyalize transfòmasyon ki pi konplèks. Espere ke atik sa a te itil pou konprann transfòmasyon nan plan Kartezyen an.
