Egzanp Pwoblèm ki Diskite Wotasyon Matematik
Pendahuluan
Wotasyon se yon transfòmasyon jewometrik yo souvan rankontre nan matematik, patikilyèman nan jewometri. Wotasyon enplike wotasyon yon objè otou yon pwen espesifik (sant wotasyon an) atravè yon ang espesifik nan yon direksyon zegwi mont lan oswa nan sans kontrè zegwi mont lan. Aplikasyon konsèp wotasyon an enpòtan anpil nan domèn tankou grafik òdinatè, fizik ak jeni. Atik sa a pral eksplore divès egzanp ak diskisyon sou wotasyon nan matematik.
Konprann Wotasyon
Wotasyon se yon transfòmasyon ki deplase chak pwen yon objè lè li vire l otou yon pwen fiks, yo rele sant wotasyon an, pa yon sèten ang nan yon sèten direksyon. Notasyon jeneral pou yon wotasyon ak yon ang θ ak yon sant wotasyon (a, b) ka ekri kòm R_(a, b)(θ).
Pou yon pwen P(x, y) ki vire pa θ degre ak sant wotasyon an nan orijin nan (0, 0), nouvo kowòdone P' (x', y') apre wotasyon an pral jwenn lè l sèvi avèk fòmil sa a:
– x' = x cos θ – y sin θ
– y' = x sin θ + y kos θ
Ann kontinye ak kèk egzanp pwoblèm wotasyon ansanm ak diskisyon yo.
Egzanp Kesyon ak Diskisyon
Egzanp Kesyon 1
Kesyon: Detèmine nouvo kowòdone pwen A(3, 4) apre ou fin vire l 90 degre nan sans kontrè zegwi mont lan avèk sant wotasyon an nan orijin nan (0, 0).
Diskisyon: Lè w ap itilize fòmil wotasyon an ak yon ang 90 degre nan sans kontrè zegwi mont lan:
– x' = x cos(90°) – y sin(90°) = 3(0) – 4(1) = -4
– y' = x sin(90°) + y cos(90°) = 3(1) + 4(0) = 3
Kidonk, nouvo kowòdone A' apre wotasyon an se (-4, 3).
Egzanp Kesyon 2
Kesyon: Pwen B(2, -1) an vire 180 degre nan sans zegwi mont lan, sant wotasyon an rete nan orijin nan (0, 0). Detèmine nouvo kowòdone pwen B yo apre wotasyon an.
Diskisyon: Yon wotasyon 180 degre swa nan sans zegwi mont lan oswa nan sans kontrè zegwi mont lan bay menm rezilta a, sètadi kowòdone pwen an chanje pou vin (-x, -y).
– x' = -x = -2
– y' = -y = 1
Kidonk, nouvo kowòdone B' yo se (-2, 1).
Egzanp Kesyon 3
Kesyon: Yon pwen C(-3, 5) vire 270 degre nan sans kontrè zegwi mont lan avèk sant wotasyon an nan orijin nan (0, 0). Detèmine pwen C apre wotasyon an.
Diskisyon: Yon wotasyon 270 degre nan sans kontrè ak direksyon zegwi a ekivalan a yon wotasyon 90 degre nan sans zegwi a.
– x' = x cos(90°) + y sin(90°) = -3(0) + 5(1) = 5
– y' = -x sin(90°) + y cos(90°) = -(-3)(1) + 5(0) = 3
Kidonk, nouvo kowòdone C' apre wotasyon an se (5, -3).
Egzanp Kesyon 4
Kesyon: Detèmine nouvo kowòdone pwen D(5, 5) apre ou fin vire l 45 degre avèk sant wotasyon an nan orijin nan (0, 0).
Diskisyon: Lè w ap itilize fòmil wotasyon an ak yon ang 45 degre:
– x' = x cos(45°) – y sin(45°) = 5(cos(45°)) – 5(sin(45°)) = 5(√2/2) – 5(√2/2) = 0
– y' = x sin(45°) + y cos(45°) = 5(√2/2) + 5(√2/2) = 5√2/2 + 5√2/2 = 5√2
Kidonk, nouvo kowòdone D' apre wotasyon an se (0, 5√2).
Wotasyon ak Sant Wotasyon ki pa nan Orijin nan
Wotasyon yo pa toujou fèt alantou orijin nan. Pa egzanp, ann sipoze nou vle Thorne yon pwen ak sant wotasyon an (h, k). Pou fè sa, nou bezwen ajiste kowòdone yo jan sa a:
1. Translasyon pwen an pou (h, k) vin tounen orijin nan.
2. Sèvi ak fòmil wotasyon an.
3. Tradwi tounen nan pozisyon orijinal la.
Egzanp Kesyon 5
Kesyon: Pwen E(5, 7) la vire 90 degre nan sans kontrè zegwi mont lan, sant wotasyon an se nan pwen (2, 3). Detèmine nouvo kowòdone pwen E a apre wotasyon an.
Diskisyon:
1. Translasyon pwen E a nan orijin lan parapò ak sant wotasyon an (2, 3):
– Nouvo pwen E' = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
2. Thorne 90 degre nan sans kontrè zegwi mont lan otou nouvo pwen an:
– x' = 3 cos(90°) – 4 sin(90°) = -4
– y' = 3 sin(90°) + 4 cos(90°) = 3
Kidonk, kowòdone yo apre wotasyon an se (-4, 3).
3. Tradiksyon tounen nan pozisyon orijinal la parapò ak sant wotasyon an (2, 3):
– Pwen final E' = (-4 + 2, 3 + 3) = (-2, 6)
Kidonk, nouvo kowòdone pwen E a apre wotasyon an se (-2, 6).
Konklizyon
Analize ak konprann wotasyon matematik yo enpòtan anpil nan plizyè aplikasyon. Atravè egzanp ak diskisyon ki anwo yo, lektè yo dwe konprann kijan fòmil wotasyon yo fonksyone ak kijan yo ka aplike nan diferan sitiyasyon. Egzèsis sa a pa sèlman ranfòse matematik fondamantal men li itil tou nan lòt domèn ki enplike transfòmasyon jewometrik.
