Egzanp Kesyon Diskisyon sou Pèmitasyon
Yon pèmutasyon se rearanjman yon ansanm oswa objè nan yon lòd espesifik. Nan matematik, konsèp sa a souvan itilize pou kalkile konbyen fason yon gwoup objè ka ranje. Anba a, nou pral diskite plizyè egzanp pwoblèm pèmutasyon ak eksplikasyon konplè yo.
Definisyon Pèmutasyon
Yon pèmutasyon yon ansanm se yon rearanjman eleman li yo nan yon lòd patikilye. Si gen \(n\) objè, pèmutasyon an reprezante pa \(P(n)\) oubyen pi presizeman, \(P(n, r)\) pou \(r\) pèmutasyon \(n\) objè yo. Fòmil debaz pou pèmutasyon an se:
\[ P(n) = n! \]
kote \(n! \) (n faktoryèl) se pwodwi tout nonb antye pozitif ki pi piti pase oswa egal a \(n \).
Pandanstan, fòmil pèmitasyon \(r \) pou \(n \) objè yo se:
P(n, r) = \frac{n!}{(nr)!}
Egzanp Kesyon ak Diskisyon
Egzanp Kesyon 1
Pwoblèm:
Konbyen fason ou ka ranje 4 liv diferan sou yon etajè?
Diskisyon:
Pou nou ranje 4 liv diferan, nou ka itilize fòmil pèmitasyon an pou kalkile tout aranjman liv yo posib:
P(4) = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
Kidonk, gen 24 fason pou ranje 4 liv diferan sou yon etajè.
Egzanp Kesyon 2
Pwoblèm:
Konbyen fason posib ki genyen pou chwazi epi ranje 3 manm nan yon ekip 5 manm nan yon lòd yo bay?
Diskisyon:
Nou itilize fòmil pèmitasyon an \( P(n, r) \) kote \( n = 5 \) ak \( r = 3 \):
P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60 \]
Kidonk, gen 60 fason pou chwazi epi ranje 3 manm nan yon ekip 5 manm nan yon sèten lòd.
Egzanp Kesyon 3
Pwoblèm:
Konbyen fason ou ka ranje mo "MATH" la pou okenn lèt pa repete?
Diskisyon:
Mo "MATH" la gen kat lèt diferan. Nou ka itilize fòmil pèmitasyon an pou kalkile tout aranjman posib lèt sa yo:
P(4) = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
Kidonk, gen 24 fason pou aranje lèt ki nan mo "MATH" la.
Egzanp Kesyon 4
Pwoblèm:
Apati nimewo 1, 2, 3, 4, 5 yo, konbyen nimewo 3 chif yon moun ka fòme si pa gen okenn chif ki repete?
Diskisyon:
Pou fòme yon nonb 3 chif apati 5 chif diferan kote pa gen okenn chif ki repete, nou itilize pèmutasyon an \( P(5, 3) \):
P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60 \]
Kidonk, gen 60 fason pou fòme yon nimewo 3 chif apati chif 1, 2, 3, 4, ak 5 san repete okenn chif.
Egzanp Kesyon 5
Pwoblèm:
Gen 6 jwè, A, B, C, D, E, ak F. Y ap ranje yo nan lòd 3 premye yo pou match la. Konbyen fason yo ka ranje twa jwè yo?
Diskisyon:
Isit la yo mande nou pou nou ranje 3 jwè nan yon lòd espesifik sou yon total de 6 jwè. Fòmil yo itilize a se pèmutasyon \( P(n, r) \) kote \( n = 6 \) ak \( r = 3 \):
P(6, 3) = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120 \]
Kidonk, gen 120 fason pou ranje 3 nan 6 jwè yo nan yon lòd patikilye.
Egzanp Kesyon 6
Pwoblèm:
Detèmine konbyen pèmutasyon ki genyen nan mo "UNIVERSITY" la pou vwayèl yo toujou youn akote lòt.
Diskisyon:
Mo "UNIVERSITY" la gen 11 lèt, epi vwayèl yo se U, I, E, I, A. Konsidere gwoup vwayèl sa yo kòm yon sèl inite.
Kidonk, nou genyen: (UIIEIA), N, V, R, S, T, ak S (konsidere kòm yon sèl inite). Apre sa, nou dwe ranje 7 inite sa yo:
P(7) = 7! = 5040
Sepandan, nan gwoup vokal la (UIEIA), yo ka ranje nan:
P(5) = 5! = 120
Kidonk, pèmutasyon total yo se:
\[ 7! \ fwa 5! = 5040 \ fwa 120 = 604800 \]
Kidonk, gen 604800 fason pou fòme mo "UNIVERSITY" kote tout vwayèl yo toujou youn akote lòt.
Konklizyon
Pèmutasyon se aranjman objè oswa ansanm nan yon lòd espesifik, epi konsèp sa a gen anpil aplikasyon nan divès domèn, tankou matematik, syans enfòmatik ak estatistik. Lè nou idantifye epi aplike fòmil ki apwopriye a, nou ka fasilman kalkile kantite aranjman posib yo.
Egzanp yo bay yo montre kijan fòmil pèmitasyon yo fonksyone epi kijan yo ka aplike nan plizyè sitiyasyon. Yon konpreyansyon apwofondi sou pèmitasyon yo esansyèl pou rezoud pwoblèm konbinatwa konplèks epi li gen anpil valè pou devlope lojik pou rezoud pwoblèm.
