Egzanp Kesyon ki Diskite Aplikasyon Entegral nan Fizik
Itilizasyon entegral nan fizik se yon konsèp trè enpòtan e laj. Aplikasyon entegral pèmèt fizisyen ak enjenyè kalkile yon varyete fenomèn natirèl konplèks, kit se sa ki gen rapò ak mouvman, enèji, fòs, oswa lòt aspè. Atik sa a pral eksplore plizyè pwoblèm egzanp epi diskite sou aplikasyon entegral nan fizik.
1. Kalkile Travay pa Fòs Varyab
Kesyon
Yon fòs ki varye avèk pozisyon \(x\) bay pa \( F(x) = 3x^2 \). Kalkile travay fòs sa a fè lè objè a deplase soti nan \(x = 0\) pou rive nan \(x = 2 \) mèt.
Pembahasan
Travay yon fòs k ap chanje fè a se entegral fòs la sou distans lan. Si yo bay fòs \( F(x) \) a kòm yon fonksyon pozisyon \(x\) a, nou ka eksprime travay la kòm:
\[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
Nan ka sa a:
F(x) = 3x^2
\[ a = 0 \, \text{mèt} \]
\[ b = 2 \, \text{mèt} \]
Lè sa a, travay la \(W\) se:
W = \int_{0}^{2} 3x^2 \, dx \]
Nou kalkile entegral sa a:
\[
W = 3 \int_{0}^{2} x^2 \, dx
= 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}
= 3 ( \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \right)
= 3 (frak{8}{3} – 0)
= 8 \, \text{Joul}
\]
Kidonk, travay fòs la fè a se 8 Joules.
2. Kalkile Sant Mas yon Baton Omojèn
Kesyon
Yon baton omojèn ak longè \(L\) sitiye sou aks x la soti nan \(x = 0\) rive nan \(x = L\). Kalkile pozisyon sant mas baton an.
Pembahasan
Pou yon baton omojèn, mas la distribye inifòmman sou tout longè li. Nou ka sipoze baton an gen yon mas lineyè konstan \(\lambda\) (mas pa inite longè).
Sant mas la (\(x_{cm}\)) yo bay pa:
\[ x_{cm} = \frac{\int x \, dm}{\int dm} \]
Piske mas la distribye omojènman, nou ka eksprime \(dm = \lambda \, dx\), ak entegral limit la soti nan \(x = 0\) rive nan \(x = L\):
\[
x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x λ, dx}{\int_{0}^L λ, dx}
\]
Entegrasyon sou \(\lambda\) a konstan epi ou ka anile li:
\[
x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x \, dx}{\int_{0}^{L} dx}
= \frac{\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L}}{ \left[ x \right]_{0}^{L} }
= \frac{\frac{L^2}{2} – 0}{L – 0}
= \frac{L^2 /2}{L}
= \frac{L}{2}
\]
Kidonk, pozisyon sant mas baton an se nan \( \frac{L}{2} \), oubyen nan mitan baton an.
3. Kalkile fòs elektwostatik ki baze sou lwa Coulomb la
Kesyon
De chaj \(q_1\) ak \(q_2\) sitiye sou aks x la nan \(x = 0\) ak \(x = L\) respektivman. Kalkile fòs elektwostatik ant de chaj yo.
Pembahasan
Lwa Coulomb la deklare ke fòs ki genyen ant de chaj ponktyèl se dirèkteman pwopòsyonèl ak pwodwi chaj yo epi envers pwopòsyonèl ak kare distans ki genyen ant yo a:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]
Ki kote:
– \(k_e\) se konstan Coulomb la \((8.99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2)\)
– \(r\) se distans ki genyen ant chaj yo
Nan ka sa a, \(q_1\) ak \(q_2\) sitiye nan \(x = 0\) ak \(x = L\), alò distans \(r = L\) la.
Fòs elektwostatik la se:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{L^2} \]
Sa a se yon solisyon souvan aplike pou kalkile fòs elektwostatik ant de chaj ponktyèl ki plase nan yon sèten distans.
4. Kalkile Flux Mayetik
Kesyon
Yo mete yon bouk fil sikilè ki gen yon reyon \(r\) nan yon chan mayetik inifòm \(B\), ki pèpandikilè ak plan bouk la. Kalkile flux mayetik ki pase nan bouk la.
Pembahasan
Flux mayetik la (\(\Phi_B\)) atravè yon zòn \(A\) nan yon chan mayetik \(B\) yo bay pa:
\[ \Phi_B = \int B \cdot dA \]
Piske chan mayetik \(B\) a inifòm e pèpandikilè ak plan bouk la, entegral senp lan vin tounen:
\[ \Phi_B = B \cdot A \]
Kote sifas \(A\) yon sèk ki gen reyon \(r\) se:
A = π r^2
Lè sa a, flux mayetik ki pase nan bouk la se:
\[ \Phi_B = B \cdot \pi r^2 \]
Kidonk, flux mayetik ki pase nan bouk la se \( B \pi r^2 \).
Konklizyon
Itilizasyon entegral nan fizik se inevitab lè nou oblije kalkile enfòmasyon ki gen rapò ak fenomèn natirèl konplèks. Soti nan kalkile travay ki fèt pa yon fòs varyab, detèmine sant mas yon objè, kalkile fòs elektwostatik ki baze sou lwa Coulomb la, rive nan kalkile flux mayetik nan yon bouk fil nan yon chan mayetik, tout bagay sa yo depann sou entegral pou rezoud pwoblèm. Yon konpreyansyon apwofondi sou fason entegral yo fonksyone nan divès kontèks fizik pa sèlman senplifye rezoud pwoblèm, men tou, li bay yon pi bon konpreyansyon sou mekanik linivè a nan nivo molekilè ak nivo galaktik.
