Egzanp yon kesyon diskisyon sou valè espere yon distribisyon nòmal
Distribisyon nòmal la, ke yo rele tou distribisyon Gaussienne, se youn nan distribisyon pwobabilite kontinyèl ki pi souvan itilize nan estatistik ak pwobabilite. Distribisyon sa a souvan itilize kòm yon sipozisyon debaz nan divès konklizyon estatistik akòz pwopriyete matematik favorab li yo, tankou simetri ak singularite li nan parametrizasyon ak yon mwayèn (µ) ak yon devyasyon estanda (σ). Atik sa a pral diskite sou egzanp epi diskite sou valè espere distribisyon nòmal la pou bay yon konpreyansyon pi pwofon sou konsèp sa a.
Konprann Distribisyon Nòmal
Distribisyon nòmal la reprezante pa yon koub klòch simetrik, ak pifò valè yo konsantre otou valè mitan an, oswa mwayèn nan. Nan distribisyon sa a, mwayèn nan (µ) ak devyasyon estanda a (σ) se de paramèt enpòtan ki detèmine kote ak kantite gaye nan done yo.
Fonksyon dansite pwobabilite (PDF) distribisyon nòmal la se:
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\]
Ki kote:
– \( \mu \) se mwayèn nan oswa mwayèn nan
– \( \sigma \) se devyasyon estanda a
– \(x \) se yon varyab o aza
Valè espere nan distribisyon nòmal
Valè espere yon varyab o aza ki gen yon distribisyon nòmal egal ak mwayèn distribisyon an. Si \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \), alò valè espere \( E(X) \) a se:
E(X) = \mu
Ann kontinye ak kèk egzanp pwoblèm konsènan valè espere nan distribisyon nòmal pou ranfòse konpreyansyon nou.
Egzanp Kesyon ak Diskisyon
Egzanp Kesyon 1:
Sipoze \(X\) se yon varyab o aza ki distribye nòmalman avèk \( \mu = 50 \) ak \( \sigma = 10 \). Kalkile valè espere \(X\) la.
Diskisyon:
Jan nou te mansyone pi bonè, nan yon distribisyon nòmal, valè espere a \( E(X) \) egal a \( \mu \). Kidonk,
E(X) = \mu = 50
Egzanp Kesyon 2:
Etandone yon varyab o aza \(Y\) ki distribye nòmalman avèk \(\mu = 120\) ak \(\sigma = 15\). Jwenn valè espere \(Y\).
Diskisyon:
Menm jan ak premye egzanp lan, valè espere \(Y\) a se valè mitan an oswa mwayèn distribisyon nòmal la, sètadi:
E(Y) = μ = 120
Egzanp Kesyon 3:
Si varyab aleatwa \(Z\) a swiv yon distribisyon nòmal ak \(\mu = 0\) ak \(\sigma = 1\) (distribisyon nòmal estanda), ki valè espere \(Z\) a?
Diskisyon:
Distribisyon nòmal estanda a gen mwayèn ∫( \mu = 0 \), kidonk valè espere ∫(E(Z) \) a se:
E(Z) = \mu = 0
Egzanp Kesyon 4:
Ann sipoze \(W\) se yon varyab o aza ki distribye nòmalman ak mwayèn \(\mu = 75\) ak devyasyon estanda \(\sigma = 20\). Si nou defini yon nouvo varyab o aza \(\V = 2W + 3\), ki valè espere \(\V\)?
Diskisyon:
Pou nou jwenn valè espere \( V \), nou bezwen itilize pwopriyete linearite valè espere a. Etandone \( V = 2W + 3 \), alò:
E(V) = E(2W + 3)
Baze sou pwopriyete linearite valè espere a, nou ka separe konstan an ak varyab o aza a:
E(V) = 2E(W) + E(3)
Lè nou konnen valè espere yon konstan se konstan an li menm:
E(3) = 3
Epi valè espere \(W\) a se mwayèn distribisyon nòmal la \(W\):
E(W) = \mu = 75
Kidonk,
E(V) = 2 fwa 75 + 3
E(V) = 150 + 3
E(V) = 153
Egzanp Kesyon 5:
Varyab aleatwa a \(Q\) swiv yon distribisyon nòmal ak mwayèn \(\mu = 40\) ak devyasyon estanda \(\sigma = 5\). Ki valè espere \(Q\) si \[U = Q/2\]?
Diskisyon:
Nou itilize menm prensip la tankou nan egzanp 4 la, sètadi pwopriyete linearite valè espere a. Etandone ke \( U = Q/2 \), alò:
\[ E(U) = E\goch(\frac{Q}{2}\right) \]
Baze sou pwopriyete linearite valè espere a:
\[ E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]
Nou konnen valè espere \(Q\) a se mwayèn distribisyon nòmal \(Q\) a:
E(Q) = μ = 40
Kidonk,
E(U) = \frac{1}{2} \fwa 40 \]
E(U) = 20
Konklizyon
Nan yon distribisyon nòmal, valè espere yon varyab o aza toujou egal a mwayèn (µ) distribisyon an. Pwoblèm egzanp ki anwo yo demontre divès kondisyon pou kalkile valè espere a lè l sèvi avèk pwopriyete linearite a. Konprann konsèp debaz sa a fè li pi fasil pou jere pwoblèm distribisyon nòmal nan estatistik ak pwobabilite.
Distribisyon nòmal la enpòtan anpil nan estatistik paske li itilize nan yon pakèt aplikasyon pratik, tankou tès ipotèz, estimasyon paramèt, ak plizyè lòt enferans estatistik. Yon bon konpreyansyon sou valè espere distribisyon sa a se yon premye etap enpòtan nan analiz done.
Espere ke atik sa a bay yon eksplikasyon klè e itil sou valè espere nan distribisyon nòmal la ansanm ak kesyon ak diskisyon egzanp ki enpòtan.
