Egzanp Kesyon ki Diskite sou Nonb Konplèks
Nonb konplèks yo se yon sijè yo rankontre souvan nan matematik ni nan nivo lekòl segondè ni nan nivo inivèsite. Nonb konplèks yo gen de pati: yon pati reyèl ak yon pati imajinè. Lè nou itilize notasyon konvansyonèl, yon nonb konplèks ekri kòm \(z = a + bi\), kote \(a\) ak \(b\) se nonb reyèl, epi \(i\) se inite imajinè a ak pwopriyete \(i^2 = -1\). Atik sa a pral kouvri plizyè egzanp ak diskisyon sou yo konsènan nonb konplèks, soti nan operasyon debaz rive nan aplikasyon nan rezoud pwoblèm.
Egzanp Kesyon ak Diskisyon
1. Adisyon ak Soustraksyon Nonb Konplèks
Kesyon 1
Se pou \( z_1 = 3 + 4i \) ak \( z_2 = 1 – 2i \). Kalkile \( z_1 + z_2 \) ak \( z_1 – z_2 \).
Pembahasan
Pou adisyone oubyen soustrè nonb konplèks, nou tou senpleman opere pati reyèl la ak pati reyèl la epi pati imajinè a ak imajinè a.
Adisyon:
\[
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 – 2i) = (3 + 1) + (4i – 2i) = 4 + 2i
\]
Soustraksyon:
\[
z_1 – z_2 = (3 + 4i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i
\]
Se konsa, \( z_1 + z_2 = 4 + 2i \) ak \( z_1 – z_2 = 2 + 6i \).
2. Miltiplikasyon Nonb Konplèks
Kesyon 2
Kalkile pwodui \(z_1 = 2 + 3i\) pa \(z_2 = 4 – i\).
Pembahasan
Pou miltipliye de nonm konplèks, nou itilize pwopriyete distribitif aljèb la:
\[
z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]
Nou miltipliye chak konpozan:
\[
2 ∫4 + 2 ∫(-i) + 3i ∫4 + 3i ∫(-i)
\]
\[
= 8 – 2i + 12i – 3i^2
\]
Piske \(i^2 = -1 \), alò:
\[
= 8 – 2i + 12i + 3 = 11 + 10i
\]
Kidonk, pwodwi \(z_1 \cdot z_2 \) a se \(11 + 10i \).
3. Divizyon Nonb Konplèks
Kesyon 3
Kalkile kosyan \(z_1 = 3 + 4i\) a pa \(z_2 = 1 – i\).
Pembahasan
Pou divize yon nonb konplèks, nou miltipliye nimeratè a ak denominatè a pa konjige denominatè nonb konplèks la. Konjige \( 1 – i \) a se \( 1 + i \).
\[
\frac{3 + 4i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}
\]
Ann kalkile denominatè a an premye:
\[
(1 – i)(1 + i) = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2
\]
Kounye a, nou kalkile nimeratè a:
\[
(3 + 4i)(1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4(-1) = 3 + 7i – 4 = -1 + 7i
\]
Kidonk, rezilta a se:
\[
\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i
\]
4. Modil ak Agiman Nonb Konplèks yo
Kesyon 4
Detèmine modil la ak agiman \(z = 1 + i\).
Pembahasan
Modil nonm konplèks la \(z = a + bi\) se:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
Pou \(z = 1 + i\), nou genyen \(a = 1\) ak \(b = 1\):
\[
|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]
Agiman yon nonb konplèks se ang \( \theta \) ki fòme ak aks reyèl pozitif la, mezire depi orijin nan an direksyon pwen \( (a, b) \) la.
\[
\theta = \tan^{-1}\goch(\frac{b}{a}\dwat)
\]
\[
\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]
Kidonk, modil \(z = 1 + i\) a se \( \sqrt{2} \) epi agiman an se \( \frac{\pi}{4} \).
5. Fòm eksponansyèl ak modèl Euler
Kesyon 5
Konvèti nonb konplèks \(z = 1 + i \) a an fòm eksponansyèl.
Pembahasan
Fòm eksponansyèl nonb konplèks yo lè l sèvi avèk fòmil Euler a:
\[
z = re^{i\theta}
\]
Kote \(r\) se modil la epi \(\theta\) se agiman an. Apati diskisyon anvan an, nou konnen ke:
\[
r = \sqrt{2}, \quad \theta = \frac{\pi}{4}
\]
Kidonk, fòm eksponansyèl la se:
\[
z = \sqrt{2}e^{i\pi/4}
\]
6. Rasin Nonb Konplèks
Kesyon 6
Jwenn rasin kare nonb konplèks \(z = -1 \) a.
Pembahasan
Nou ka jwenn rasin kare nonb konplèks yo lè nou itilize fòm polè oubyen fòm eksponansyèl. Nou konvèti \(z = -1 \) an fòm eksponansyèl:
\[
z = -1 = e^{i\pi}
\]
Rasin kare \(e^{i\pi} \) a kapab ekri jan sa a:
\[
z_k = r ⋅ e^{i(θ + 2kπ)/n}
\]
Avèk (r = 1), (theta = pi), (n = 2), ak (k = 0, 1):
\[
z_0 = e^{i(\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi)/2} = e^{i\pi/2} = mwen
\]
\[
z_1 = e^{i(\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi)/2} = e^{i3\pi/2} = -i
\]
Kidonk, rasin kare \( -1 \) yo se \( i \) ak \( -i \).
7. Aplikasyon nan ekwasyon kwadratik
Kesyon 7
Rezoud ekwasyon kwadratik la \(z^2 + 4z + 13 = 0 \).
Pembahasan
Nou ka itilize fòmil kwadratik la:
\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
Pou ekwasyon an \(z^2 + 4z + 13 = 0 \):
\[
a = 1, b = 4, c = 13
\]
\[
z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 52}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i
\]
Kidonk, solisyon \(z^2 + 4z + 13 = 0 \) yo se \(z = -2 + 3i \) ak \(z = -2 – 3i \).
Konklizyon
Nonb konplèks yo se yon konsèp matematik ki laj anpil ak plizyè aplikasyon. Lè nou konprann operasyon debaz tankou adisyon, soustraksyon, miltiplikasyon ak divizyon, ansanm ak kijan pou kalkile modil ak agiman, nou ka rezoud plizyè pwoblèm ki gen ladan nonb konplèks. Espere ke egzanp ki anwo yo ap ede ou pi byen konprann epi metrize sijè sa a.
