Egzanp Kesyon ak Diskisyon sou Règ Chèn nan Derivatif yo
Règ chèn lan se youn nan konsèp ki pi fondamantal nan kalkil diferansyèl, yo itilize li pou kalkile derive yon fonksyon ki konpoze de de oswa plis fonksyon. Nan atik sa a, nou pral diskite sou konsèp debaz règ chèn lan, kijan pou itilize li, ak egzanp sou itilizasyon li nan pwoblèm derive ki souvan rive nan lekòl segondè ak inivèsite.
1. Entwodiksyon sou Règ Chèn nan
Anvan nou antre nan pwoblèm egzanp lan, an nou konprann dabò kisa règ chèn lan ye. Règ chèn lan deklare ke si nou gen de fonksyon diferansyab \( f \) ak \( g \), epi nou vle jwenn derive konpozisyon fonksyon \( h = f(g(x)) \) yo, alò derive \( h \) a se:
h'(x) = f'(g(x)) ∫g'(x)
An tèm senp, nou kalkile derive fonksyon ekstèn lan sou g(x), answit nou miltipliye rezilta a pa derive fonksyon entèn lan \(g(x) \).
2. Konprann Fonksyon Konpozisyon an
Anvan nou antre nan pwoblèm egzanp yo, li enpòtan pou nou konprann fonksyon konpozisyon yo. Yon fonksyon konpozisyon se yon fonksyon yo jwenn lè yo mete yon fonksyon nan yon lòt. Pa egzanp, si nou genyen \( f(x) = \sin(x) \) ak \( g(x) = x^2 \), alò konpozisyon de fonksyon yo ap \( h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \).
Nan fonksyon konpozisyon yo, nou souvan panse a \( g(x) \) kòm "fonksyon entèn" lan epi \( f(x) \) kòm "fonksyon ekstèn" lan. Nan egzanp sa a, fonksyon entèn lan se \( x^2 \) epi fonksyon ekstèn lan se sinis.
3. Egzanp Kesyon ak Diskisyon
Ann gade kèk egzanp pwoblèm ki itilize règ chèn lan pou rezoud yo.
Egzanp 1:
Etandone fonksyon \(y = \cos(3x^2) \) la, jwenn premye derive y a parapò ak x.
Diskisyon:
Premyèman, nou idantifye fonksyon entèn ak ekstèn yo. La a, fonksyon entèn lan se \( g(x) = 3x^2 \) epi fonksyon ekstèn lan se \( f(g) = \cos(g) \).
Nou konnen:
1. \(g'(x) = 6x \)
2. \(f'(g) = -\sin(g) \)
Pa règ chèn lan, nou jwenn:
\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(3x^2) \cdot 6x \]
Kidonk, derive \(y = \cos(3x^2) \) a se:
y' = -6x sin(3x^2)
Egzanp 2:
Jwenn premye derive a nan \( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \).
Diskisyon:
Isit la fonksyon entèn lan se \( g(x) = 5x^3 + 2x \) epi fonksyon ekstèn lan se \( f(g) = e^g \).
Nou konnen:
1. \(g'(x) = 15x^2 + 2 \)
2. \( f'(g) = e^g \)
Pa règ chèn lan, nou jwenn:
h'(x) = f'(g(x)) g'(x) = e^{5x^3 + 2x} (15x^2 + 2)
Kidonk, derive \( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) a se:
\[ h'(x) = (15x^2 + 2)e^{5x^3 + 2x} \]
Egzanp 3:
Jwenn premye derive a nan \(y = \ln(4x^2 – 5)\).
Diskisyon:
Fonksyon entèn lan se \( g(x) = 4x^2 – 5 \) epi fonksyon ekstèn lan se \( f(g) = \ln(g) \).
Nou konnen:
1. \(g'(x) = 8x \)
2. \(f'(g) = \frac{1}{g} \)
Pa règ chèn lan, nou jwenn:
\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{4x^2 – 5} \cdot 8x \]
Kidonk, derive \(y = \ln(4x^2 – 5)\) a se:
\[ y' = \frac{8x}{4x^2 – 5} \]
Egzanp 4:
Etandone fonksyon \(y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \), jwenn derive li.
Diskisyon:
Fonksyon entèn lan se \( g(x) = 3x^2 + 2x + 1 \) epi fonksyon ekstèn lan se \( f(g) = g^4 \).
Nou konnen:
1. \(g'(x) = 6x + 2 \)
2. \(f'(g) = 4g^3 \)
Pa règ chèn lan, nou jwenn:
\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 \cdot (6x + 2) \]
Kidonk, derive \(y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \) a se:
\[ y' = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2) \]
4. Ka Espesyal ak Devlopman Règ Chèn
Pafwa, règ chèn lan pa rete nan konpozisyon de fonksyon sèlman. Gen moman kote yon fonksyon se yon konpozisyon plis pase de fonksyon, pa egzanp: \( h(x) = f(g(k(x))) \).
Pou ka twa fonksyon, règ chèn lan ka aplike an kouch:
h'(x) = f'(g(k(x))) ∫g'(k(x)) ∫k'(x)
Nou ka wè ke nan chak kouch, nou kalkile derivasyon kouch ekstèn yo anvan nou pase sou derivasyon kouch entèn yo.
Egzanp 5:
Etandone \(y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \), jwenn derive li.
Diskisyon:
Fonksyon ki pi anndan an se \( k = 2x^2 + 1 \), fonksyon ki nan mitan an se \( g = \ln(k) \) epi fonksyon ki pi deyò a se \( f = \sqrt{g} \).
Nou konnen:
1. \(k'(x) = 4x \)
2. \(g'(k) = \frac{1}{k} \)
3. \( f'(g) = \frac{1}{2\sqrt{g}} \)
Ann aplike règ chèn lan an kouch:
\[ y' = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \cdot \frac{1}{2x^2 + 1} \cdot 4x \]
Kidonk, derive \( y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \) a se:
\[ y' = \frac{4x}{2(2x^2 + 1)\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \]
5. Kesipulan
Règ chèn lan jwe yon wòl vital nan kalkil diferansyèl, sitou lè w ap pale de konpozisyon fonksyon. Konprann ak metrize règ chèn lan bay yon fondasyon solid pou abòde pwoblèm ki pi konplèks nan kalkil. Atik sa a diskite plizyè egzanp enpòtan pou bay yon konpreyansyon solid sou aplikasyon règ chèn lan nan derive. Nou espere diskisyon sa a itil pou elèv yo epi li ka aplike nan yon varyete sitiyasyon matematik difisil.
