Egzanp Kesyon ki Diskite Règ yo pou Ranpli Espas yo
Règ ranpli plas la, oubyen règ plasman an, se yon konsèp fondamantal nan matematik ak pwobabilite ki trè itil nan plizyè sitiyasyon. Règ sa a tipikman itilize nan kontèks aranjman objè nan yon lòd espesifik oubyen nan diferan aranjman. Nan atik sa a, nou pral diskite plizyè pwoblèm egzanp ki enplike règ ranpli plas la, epi bay solisyon detaye pou chak.
Pendahuluan
Ranpli espas se yon teknik komen yo itilize nan konbinatwa, yon domèn matematik ki etidye aranjman, konbinezon ak seleksyon objè yo. Youn nan prensip debaz konbinatwa yo se règ miltiplikasyon an, ki deklare ke si gen plizyè etap nan yon pwosesis epi chak etap gen yon sèten kantite chwa, alò kantite total aranjman posib yo ka jwenn lè yo miltipliye kantite chwa ki nan chak etap.
Pa egzanp, si nou gen de etap kote premye etap la gen \(m\) chwa epi dezyèm etap la gen \(n\) chwa, alò kantite total aranjman posib yo se \(m \times n\).
Ann aplike konsèp sa a pou rezoud kèk pwoblèm egzanp.
Egzanp 1: Ranje Liv sou yon Etajè
Kesyon:
Gen 5 liv diferan ak yon etajè ak 5 espas pou ranpli. Konbyen fason yo ka ranje senk liv yo sou etajè a?
Diskisyon:
Nan ka sa a, nou bezwen ranje senk liv yo nan senk espas diferan. Sa a se yon pwoblèm pèmitasyon paske lòd enpòtan anpil. Nou ka itilize règ ranpli espas la oswa règ miltiplikasyon an pou rezoud pwoblèm sa a.
1. Pou premye chanm nan, nou gen 5 chwa liv.
2. Apre nou fin mete yon liv nan premye chanm nan, nou gen 4 chwa liv ki rete pou dezyèm chanm nan.
3. Pou twazyèm chanm nan, nou gen 3 chwa liv ki rete, epi latriye.
Ekwasyon pou kantite total paramèt yo se:
\[ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5! = 120 \]
Kidonk, gen 120 fason pou aranje senk liv yo.
Egzanp 2: Fè Mo ak Diferan Lèt
Kesyon:
Konbyen mo diferan yon moun ka fòme avèk tout lèt ki nan mo "MATHEMATICS" la, san li pa bezwen repete yo?
Diskisyon:
Nou bezwen premye wè konbyen lèt ki genyen nan mo "MATHEMATICS" la. Gen 11 lèt, kèk ladan yo repete. Lèt ki repete yo se:
– M jiska 2
– Jiska 3
– T jiska 2
– Lòt lèt yo (E, I, K) parèt chak yon fwa.
Nou itilize fòmil pèmitasyon an pou eleman repete, sètadi:
\[ \frac{n!}{n_1! \fwa n_2! \fwa \ldots \fwa n_k!} \]
kote \(n\) se kantite total eleman yo (lèt) epi \(n_1, n_2, \ldots, n_k\) se kantite repetisyon chak eleman distenk.
Avèk mo "MATEMATIK" la:
n = 11, n_1 = 2 (M), n_2 = 3 (A), n_3 = 2 (T), n_4 = 1 (E), n_5 = 1 (I), n_6 = 1 (K)
Kidonk, kantite mo ki ka fòme se:
\[ \frac{11!}{2! \fwa 3! \fwa 2! \fwa 1! \fwa 1! \fwa 1!} = \frac{39916800}{2 \fwa 6 \fwa 2 \fwa 1 \fwa 1 \fwa 1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]
Gen 1,663,200 mo diferan ki ka fòme.
Egzanp 3: Detèmine kantite konbinezon nan Martabak
Kesyon:
Yon machann martabak ofri senk engredyan pou ranpli (fwomaj, chokola, pistach, bannann, ak rezen chèch). Si yon kliyan vle chwazi twa nan senk engredyan yo pou martabak li a, konbyen konbinezon diferan li ka chwazi?
Diskisyon:
Sa a se yon pwoblèm konbinezon, pa yon pèmutasyon, paske lòd la pa enpòtan. Nou itilize fòmil konbinezon an:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
kote \(n\) se kantite total chwa yo, epi \(k\) se kantite chwa yo pran.
Pou ka sa a, \(n = 5\) ak \(k = 3\), kidonk:
\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
Gen 10 konbinezon diferan pou chwazi 3 kontni pami 5 opsyon.
Egzanp 4: Aranjman Patisipan nan yon Match
Kesyon:
Gen 8 patisipan nan yon kous. Konbyen fason yo ka klase 3 premye moun ki fini yo?
Diskisyon:
Sa a se yon pwoblèm pèmutasyon san repetisyon paske pozisyon vle di lòd enpòtan. Nou itilize fòmil pèmutasyon an:
\[ P(n, k) = \frac{n!}{(nk)!} \]
Pou ka sa a, \(n = 8\) ak \(k = 3\), alò:
P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40320}{120} = 336
Kidonk, gen 336 fason pou mete twa premye pozisyon 8 patisipan yo.
Nan atik sa a, nou te diskite plizyè pwoblèm egzanp ak solisyon yo lè l sèvi avèk règ ranpli espas nan yon varyete sitiyasyon: soti nan ranje liv sou yon etajè rive nan detèmine gayan yon konkou. Konprann fondamantal sa yo ap ba ou plis konfyans nan rezoud divès pwoblèm konbinatwa ak pwobabilite ou ta ka rankontre.
