Rotacijsko gibanje – problemi i rješenja

Rotacijsko gibanje – problemi i rješenja

Moment

1. Greda duljine 140 cm. Na gredu djeluju tri sile, F1 ₌ 20 N, F2 ₌ 10 N i F3 ₌ 40 N sa smjerom i položajem kao što je prikazano na slici ispod. Koliki je moment sile koji uzrokuje rotaciju grede oko središta mase grede?

Poznato:

Središte mase nalazi se u središtu grede.

Duljina grede (l) = 140 cm = 1.4 metra

Sila 1 (F1 ₎ = 20 N, krak poluge 1 (l1 ₎ = 70 cm = 0.7 metara

Sila 2 (F2 ₎ = 10 N, krak poluge 2 (l2 ₎ = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 metra

Sila 3 (F3 ₎ = 40 N, krak poluge 3 (l3 ₎ = 70 cm = 0.7 metara

Traži se: Veličina momenta

rješenje:

Moment 1 okreće gredu u smjeru kazaljke na satu, pa mu je dodijeljen negativni predznak.

τ1 ₌ F1l1 = ( ₂₀ N)(0.7 m ₎ = -14 Nm

Moment 2 okreće gredu suprotno od smjera kazaljke na satu, dodjeljujući tako pozitivni predznak momentu 2.

τ² ₌ F² _{l² = (10 N )} (0.3 m) = 3 N m

Moment 3 okreće gredu u smjeru kazaljke na satu, pa mu je dodijeljen pozitivan predznak.

τ³ = F³ _{l³ =} (40 N)(0.7 m) = -28 N m

Neto okretni moment:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

Veličina momenta je 39 N m. Smjer vrtnje grede je u smjeru kazaljke na satu, pa joj je dodijeljen negativni predznak.

2. Koliki je neto moment sile koji djeluje na gredu? Os rotacije u točki D. (sin 53 ^o = 0.8)

Poznato:

Os rotacije u točki D

F ₁ = 10 N i l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm)(sin 53 ^o ) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 metra

F ₂ = 10√2 N i l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm)(sin 45 ^o ) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 metara

F ₃ = 20 N i l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm)(sin 90 ^o ) = (0.1 m)(1) = 0.1 metar

Traži se: Neto okretni moment

rješenje:

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N)(0.32 m) = 3.2 Nm

(Moment 1 okreće gredu suprotno od smjera kazaljke na satu pa momentu 1 dodjeljujemo pozitivan predznak)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

(Moment 2 okreće gredu u smjeru kazaljke na satu pa momentu 2 dodjeljujemo negativni predznak)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 N)(0.1 m) = 2 Nm

(Moment 3 okreće gredu suprotno od smjera kazaljke na satu pa momentu 3 dodjeljujemo pozitivan predznak)

Neto okretni moment:

Στ = _τ1 – _τ1 + _τ3

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Koliki je neto moment ako je os rotacije u točki D. (sin 53 ^o = 0.8)

Poznato:

Os rotacije u točki D.

Udaljenost između F1 _i osi rotacije (rAD ₎ = 40 cm = 0.4 m

Udaljenost između F2 _i osi rotacije (rBD ₎ = 20 cm = 0.2 m

Udaljenost između F3 _i osi rotacije (rCD ₎ = 10 cm = 0.1 m

F1 = ₁₀ Newtona

F² = _10√² Newtona

F3 = ₂₀ Newtona

Sinus 53 ^o = 0.8

Traži se: Neto okretni moment

rješenje:

Moment sile 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(Moment 1 okreće gredu suprotno od smjera kazaljke na satu pa momentu 1 dodjeljujemo pozitivan predznak)

Moment sile 2

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(Moment 2 okreće gredu u smjeru kazaljke na satu pa momentu 2 dodjeljujemo negativni predznak)

Moment sile 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(Moment 2 okreće gredu suprotno od smjera kazaljke na satu pa momentu 3 dodjeljujemo pozitivan predznak)

Neto okretni moment:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 Newton metra

Moment inercije

4. Duljina žice = 12 m, l ₁ = 4 m. Zanemarite masu žice. Koliki je moment tromosti sustava?

Poznato:

Masa A (m _A ) = 0.2 kg

Masa B (m _B ) = 0.6 kg

Udaljenost između A i osi rotacije (r _A ) = 4 metra

Udaljenost između B i osi rotacije (r _B ) = 12 – 4 = 8 metara

Traži se: Moment inercije sustava

rješenje:

Moment inercije A

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(4) ² = (0.2)(16) = 3.2 kg m ²

Moment inercije B

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 kg m ²

Moment inercije sustava:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg m ²

Rotacijska dinamika

5. Na uže omotano oko remenice mase M = 5 kg i polumjera R = 20 cm djeluje sila od 6 N. Koliko je kutno ubrzanje remenice? Remenica je jednoliki čvrsti valjak.

Poznato:

Sila (F) = 6 Newtona

Masa (M) = 5 kg

Polumjer (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Traži se: Kutno ubrzanje (α)

rješenje:

Moment sile:

τ = FR = (6 Newtona)(0.2 metra) = 1.2 Nm

Moment inercije za čvrsti cilindar:

I = 1/2 ^MR2

I = 1/2 (5 kg)(0.2 m) ^²

I = 1/2 (5 kg)(0.04 ^m² )

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg ^m².

Kutno ubrzanje:

τ = Iα

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s ^-2

6. Blok mase = 4 kg visi s užeta omotanog oko remenice mase = 8 kg i polumjera R = 10 cm. Ubrzanje sile teže je 10 ms ^-2 . Koliko je linearno ubrzanje bloka? Remenica je jednoliki čvrsti valjak.

Poznato:

Masa remenice (m) = 8 kg

Polumjer remenice (r) = 10 cm = 0.1 m

Masa bloka (m) = 4 kg

Ubrzanje zbog gravitacije (g) = 10 m/ ^s²

Težina (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 Newtona

Traži se: Ubrzanje slobodnog pada bloka

rješenje:

Moment inercije čvrstog cilindra:

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 kg)(0.1 m) ² = (4 kg)(0.01 m ² ) = 0.04 kg m ²

Moment sile:

τ = F r = (40 N)(0.1 m) = 4 Nm

Kutno ubrzanje:

Στ = Iα

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

Linearno ubrzanje:

a = r α = (0.1)(100) = 10 m/s ²

7. Blok mase m visi s užeta omotanog oko remenice. Ako je ubrzanje slobodnog pada bloka am/s² ^, koliki je moment tromosti remenice?

Poznato:

težina = w = mg

Poluga = R

Kutno ubrzanje = α

Ubrzanje slobodnog pada bloka = a ms ^-2

Traži se: Moment inercije remenice (I)

rješenje:

Veza između linearnog ubrzanja i kutnog ubrzanja:

a = Rα

α = a / R

Moment inercije:

τ = Iα

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

Kutni moment

8. Čestica mase 0.2 grama giba se u kružnici konstantnom brzinom od 10 m/s. Polumjer kružnice je 3 cm. Koliki je kutni moment čestice?

Poznato:

Masa čestice (m) = 0.2 grama = 2 x ^10⁻⁴ kg

Kutna brzina (ω) = 10 rad s ^-1

Polumjer (r) = 3 cm = 3 x ^10⁻² metara

Traži se: Kutni moment čestice

rješenje:

Jednadžba kutnog momenta:

L = Iω

I = kutni moment, I = moment tromosti, ω = kutna brzina

Moment inercije (za čestice):

I = mr² ⁼ (2 x 10⁻⁴ ⁾ (3 x ^10⁻² ) ^² = (2 x ^10⁻⁴ )(9 x ^10⁻⁴ ) = 18 x ^10⁻⁴

Kutni moment:

L = I ω = (18 x ^10⁻⁴ )(10 rad ^{s⁻¹ )} = 18 x ^10⁻⁷ kg ^m² s⁻¹

1. Što je rotacijsko gibanje?
   • OdgovoritiRotacijsko gibanje odnosi se na kretanje objekta oko fiksne osi. To je vrsta gibanja u kojoj se svaka točka objekta kreće u krugu oko osi.
2. Kakav je odnos linearne brzine i kutne brzine pri rotacijskom gibanju?
   • OdgovoritiLinearna brzina ($v$) točke u rotirajućem objektu izravno je proporcionalna njezinoj udaljenosti ($r$) od osi rotacije i kutne brzine ($\omega$) objekta. Relacija je dana s $v=r\cdot \omega$.
3. Što je moment inercije i kako je povezan s rotacijskim gibanjem?
   • OdgovoritiMoment tromosti je rotacijski analog mase u linearnom gibanju. Mjeri otpor objekta promjenama u njegovom rotacijskom stanju. Moment tromosti ovisi i o masi objekta i o njegovoj raspodjeli u odnosu na os rotacije.
4. Kako se Newtonov prvi zakon gibanja primjenjuje na rotacijsko gibanje?
   • OdgovoritiKao što objekt u linearnom gibanju ostaje u gibanju osim ako na njega ne djeluje vanjska sila, tako će i objekt u rotacijskom gibanju ostati u tom stanju osim ako na njega ne djeluje vanjski moment.
5. Koji je značaj radijusa giracije?
   • OdgovoritiRadijus giracije pruža mjeru raspodjele mase objekta od njegove osi rotacije. U biti opisuje koliko daleko od osi bi sva masa objekta trebala biti koncentrirana da bi se imao isti moment inercije kao i izvorna raspodjela.
6. Što je kutni moment i kako se održava?
   • OdgovoritiKutni moment je rotacijski ekvivalent linearnog momenta. To je produkt momenta tromosti objekta i njegove kutne brzine. U zatvorenom sustavu, ukupni kutni moment ostaje konstantan osim ako na njega ne djeluje vanjski moment, što naglašava očuvanje kutnog momenta.
7. Kako moment utječe na rotacijsko gibanje?
   • OdgovoritiMoment je rotacijski ekvivalent sile. Uzrokuje promjene u rotacijskom gibanju objekta. Relacija je dana Newtonovim drugim zakonom za rotaciju: $\tau =I\cdot \alpha$, Gdje $\tau$ je okretni moment, $I$ je moment inercije, a $\alpha$ je kutno ubrzanje.
8. Po čemu se središte mase razlikuje od središta rotacije?
   • OdgovoritiIako se mogu podudarati, središte mase je točka u kojoj se može pretpostaviti da je koncentrirana cijela masa objekta u svrhu izračuna u linearnom gibanju, dok je središte rotacije točka (ili os) oko koje se objekt okreće.
9. Koja je uloga centripetalne sile u rotacijskom gibanju?
   • OdgovoritiCentripetalna sila je neto sila koja djeluje na objekt koji se kreće po kružnoj putanji, usmjerena prema središtu rotacije. Odgovorna je za održavanje objekta na njegovoj zakrivljenoj putanji i sprječavanje njegovog kretanja u ravnoj liniji zbog inercije.

10. Kakav je odnos rotacijske kinetične energije s momentom inercije i kutnom brzinom?

    • OdgovoritiRotacijska kinetička energija je energija nastala rotacijom objekta oko osi. Dan je formulom: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω², Gdje $I$ je moment inercije i $\omega$ je kutna brzina.