gibanje projektila

Članak o kretanju projektila i primjeri problema s rješenjima

Početna brzina (v_o) i komponenta početne brzine (v_ox i v_oy)

Objekt čija parabolična gibanja uvijek imaju početnu brzinu. Budući da je parabolično gibanje kombinacija gibanja u horizontalnom i vertikalnom smjeru, početna brzina također ima horizontalnu i vertikalnu komponentu.

Ako se objekt kreće parabolično kao na slikama 1 i 3, tada se početna brzina u horizontalnom smjeru (v _ox ) i početna brzina u vertikalnom smjeru (v _oy ) izračunavaju pomoću jednadžbe:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Ako se objekt kreće parabolično kao na slici 2, tada je v _o = v _ox (v _oy = 0)

Brzina (v_x i v_y) i položaj (x i y)

Brzina u horizontalnom i vertikalnom smjeru u određenom vremenskom intervalu izračunava se pomoću jednadžbe:

v _x = v _ox = konstanta ( jednoliko linearno gibanje )

v _y = v _oy + gt ili v _y ² = v _oy ² + 2 gh (gibanje u slobodnom padu)

Položaj objekata u horizontalnom (x) i vertikalnom (y) smjeru u određenom vremenskom intervalu izračunava se pomoću jednadžbe:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

Rezultanta brzine (v) i položaja (h)

Rezultantna brzina u određenom vremenskom intervalu izračunava se pomoću jednadžbe:

Smjer objekata u određenom vremenskom intervalu izračunava se pomoću jednadžbe:

Napomene:

1. Horizontalna komponenta paraboličkog gibanja smatra se jednolikim linearnim gibanjem, pa je vox = vx uvijek konstanta

2. Vertikalna komponenta paraboličkog gibanja promatra se kao gibanje slobodnog pada, pa ako se objekt kreće parabolično, kao što je prikazano na slikama 1 i 3, vertikalna komponenta brzine objekta na maksimalnoj visini je nula (v _y = 0). Ako bacite klikeru uspravno prema gore na maksimalnoj visini, objekt miruje trenutak (v _y = 0) prije nego što se okrene prema dolje. Stoga je brzina objekta koji se kreće parabolično na maksimalnoj visini = v _x = v _ox

3. Ako se objekt kreće parabolično kao što je prikazano na slici 2, vertikalna komponenta paraboličnog gibanja promatra se kao gibanje slobodnog pada. Ako se objekt kreće parabolično kao na slikama 1 i 3, tada se vertikalna komponenta paraboličnog gibanja promatra kao vertikalno gibanje prema gore.

Primjeri problema:

1. Metak je ispaljen u horizontalnom smjeru s početnom brzinom od 20 m/s. Ako se top nalazi 5 metara iznad tla, odredite:

(a) vrijeme u zraku

(b) maksimalna visina

(c) horizontalna udaljenost

(d) brzina metka kada udari u tlo

Rješenje:

Gibanje u horizontalnom smjeru analizira se kao jednoliko linearno gibanje, dok se gibanje u vertikalnom smjeru analizira kao gibanje slobodnog pada.

Znan:

v _ox = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) Vrijeme u zraku

Rješenje je određivanje vremenskog intervala (t) u slobodnom padu.

Poznato: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

Traži se: t

b) Maksimalna visina

Maksimalna visina = h = 5 metara.

c) Horizontalna udaljenost (d)

Rješenje je kao određivanje udaljenosti pri jednoličnom linearnom gibanju

Poznato: v _ox = 20 m/s, t = 1 sekunda

Traži se: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Brzina kada metak udari u tlo

vtx = _vox = 20 m/ _s

v _ty = ?

Prvo izračunavamo konačnu brzinu u vertikalnom smjeru (vty). Rješenje je kao određivanje konačne brzine slobodnog pada.

Poznato: v _oy = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

Traži se: jako _dobro

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 m/s² ⁾ (1 s)

vt ₌ 9.8 m/s

Brzina metka kada udari u tlo:

Smjer metka:

Budući da je v _tx u smjeru pozitivne x-osi (desno), a v _ty u smjeru negativne y-osi (prema dolje),

smjer metka kada udari u tlo je -26.1 ^° u odnosu na pozitivnu x-osi (vidi sliku ispod).

2. Top je ispalio metak pod kutom od 30 ^° u odnosu na horizontalu brzinom od 60 m/s. Odredite:

(a) maksimalna visina

(b) brzina metka na maksimalnoj visini

(c) vrijeme u zraku

(d) horizontalna udaljenost

(e) brzina metka kada udari u tlo. Pretpostavimo da je tlo ravno. 🙂

Rješenje:

Gibanje u horizontalnom smjeru analizira se kao jednoliko linearno gibanje, gibanje u vertikalnom smjeru analizira se kao vertikalno gibanje prema gore.

Poznato: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

Na temelju poznatih podataka prvo izračunavamo vertikalnu (v _oy ) i horizontalnu (v _ox ) komponentu početne brzine (v _o ).

a) Maksimalna visina (h)

Rješenje je kao određivanje maksimalne visine pri vertikalnom kretanju prema gore.

Znan:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) Maksimalna visina (h)

Rješenje je kao određivanje maksimalne visine pri vertikalnom kretanju prema gore.

Znan:

v _oy = 30 m/s (ovo je početna brzina metka)

v _ty = 0 m/s (Na maksimalnoj visini, vertikalna brzina metka = 0 m/s. To je konačna brzina.)

g = – 9.8 m/ ^s²

Traži se: h

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) h

0 = 900 – 19.6 sati

900 = 19.6 sati

h = 900 / 19.6

h = 45.9 metara

Maksimalna visina koju je metak postigao = 45.9 metara.

b) Brzina na maksimalnoj visini

Na maksimalnoj visini, brzina u vertikalnom smjeru = 0 m/s. Na maksimalnoj visini postoji jedina brzina u horizontalnom smjeru. Brzina u horizontalnom smjeru na maksimalnoj visini jednaka je početnoj brzini u horizontalnom smjeru, koja iznosi 52.2 m/s. Smjer brzine u horizontalnom smjeru uvijek je konstantan, odnosno u smjeru pozitivne x-osi (ako je gibanje objekta opisano na gornjem dijagramu).

c) Vrijeme u zraku

Rješenje je slično određivanju vremenskog intervala (t) u raspravi o vertikalnom kretanju prema gore.

Znan:

v _oy = 30 m/s (ovo je početna brzina metka u vertikalnom smjeru)

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0 m (kada se metak vrati na tlo, pomak metka u vertikalnom smjeru = 0 m)

Traži se: t

h = v _o t + ½ ^gt²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/ ^s² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 ^t²

(30) t = 4.9 ^t²

30 = 4.9 t

t = 30 / 4.9

t = 6.12 sekunde

Vrijeme u zraku = 6.12 sekundi

d) Horizontalna udaljenost (d)

Rješenje je kao određivanje udaljenosti (d) na jednoliko linearnom gibanju.

Znan:

v _ox = 52.2 m/s

t = 6.12 sekunde

Traži se: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 sekundi) = 319.5 m

e) Brzina kada metak udari u tlo

vtx = _vox = 52.2 m/ _s

v _ty = ?

Prvo izračunavamo konačnu brzinu u vertikalnom smjeru (v _ty ). Rješenje je odrediti konačnu brzinu pri vertikalnom kretanju prema gore.

Traži se: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 sekundi

Traži se: jako _dobro

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

Negativni predznak označava da je smjer konačne brzine prema dolje. Treba napomenuti da je početna brzina u vertikalnom smjeru jednaka konačnoj brzini u vertikalnom smjeru.

Brzina metka kada udari u tlo:

Smjer metka:

Budući da je v _tx u smjeru pozitivne x-osi (desno), a vty u smjeru negativne y-osi (prema dolje),

smjer brzine metka pri udaru u tlo je -30 ^° oko pozitivne x-osi (vidi sliku dolje).

3. Lopta je bačena s ruba zgrade visoke 50 metara početnom brzinom od 10 m/s. Ako je lopta bačena pod kutom od 30° u odnosu na horizontalu, odredite:

(a) vremenski interval u kojem lopta padne na tlo

(b) brzina lopte kada udari o tlo

(c) horizontalna udaljenost koju lopta može dosegnuti mjeri se od ruba zgrade

(d) maksimalna visina koju lopta dostigne

Rješenje:

Prvo izračunavamo vertikalnu komponentu (v _oy ) i horizontalnu komponentu (v _ox ) početne brzine (v _o ).

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Vremenski interval u kojem lopta padne na tlo

Rješenje je kao određivanje vremenskog intervala (t) u vertikalnom kretanju prema gore. Veličina vektora čiji je smjer prema gore odabrana je da bude pozitivna, veličina vektora čiji je smjer prema dolje odabrana je da bude negativna. Položaj lopte u koji je bačena odabran je kao referentna točka. h je negativno jer je površina tla ispod referentne točke, g je negativno jer je smjer ubrzanja gravitacije prema dolje.

Znan:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/ ^s²

Traži se: t

h = v _o t + ½ ^gt²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) ^t²

-5 = 5 t – 4.9 t ²

-4.9 t ² + 5 t + 5 = 0

Koristite kvadratnu formulu:

Vrijeme u zraku = vremenski interval od bacanja lopte do pada na tlo = 1.64 sekunde.

b) Brzina lopte kada udari o površinu tla

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

Prvo izračunavamo konačnu brzinu u vertikalnom smjeru (v _ty ). Rješenje je kao određivanje konačne brzine pri vertikalnom kretanju prema gore.

Poznato: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 sekunde

Traži se: jako _dobro

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

Negativni predznak označava da je smjer konačne brzine prema dolje.

Brzina metka kada udari u tlo:

Smjer brzine metka = smjer kretanja metka kada udari u tlo:

Brzina metka kada udari u tlo:

Budući da je vtx u smjeru pozitivne x-osi (desno), a vty u smjeru negativne y-osi (prema dolje),

smjer metka kada udari u tlo je -52o oko pozitivne x-osi (vidi sliku ispod).

c) Horizontalna udaljenost koju lopta može dosegnuti mjeri se od ruba zgrade

Rješenje je kao određivanje prijeđene udaljenosti (d) pri jednoličnom linearnom gibanju.

Poznato: t = 1.64 sekunde, v _x = 8.7 m/s

Traži se: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) Maksimalna visina koju lopta dostigne

Poznato: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( vertikalna komponenta brzine na maksimalnoj visini = 0 m/s), g = -9.8 m/ ^s².

Traži se: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ^² + 2(-9.8 m/s² ⁾ (h)

0 m/s = 25 (m/s) ^² + (-19.6 m/s² ⁾ (h)

25 (m/s) ^² = -19.6 m/s² (h)

h = 25 (m/s) ^² : -19.6 m/s² ⁼ 1.3 metra

Maksimalna visina koju lopta dostiže = 1.3 metra iznad vrha zgrade = 1.3 m + 50 m = 51.3 metra iznad površine tla.