Članak o jednadžbi kontinuiteta
Pokušajte polako otvoriti slavinu za vodu, obraćajući pažnju na brzinu vode koja izlazi iz otvora slavine. Sada usporedite, gdje je brzina protoka vode veća, kada je otvor slavine zatvoren ili ne? Zašto je to tako? Da biste to razumjeli, proučite jednadžbu kontinuiteta.
Strujnica
U stalnom toku, brzina svake čestice fluida u točki, recimo točki A, uvijek je ista. Pri prolasku točke B, brzina čestica fluida može se promijeniti. Međutim, pri dolasku u točku B, čestice fluida koje slijede iza teku istom brzinom kao i čestice fluida koje im prethode. Slično tome, pri dolasku u točku C i tako dalje. Linija toka je krivulja koja spaja točke A, B i C.
protočna cijev
Svaku strujnicu možemo opisati kroz svaku točku u toku fluida. Ako percipiramo stacionarni tok fluida, neke strujnice koje prolaze pod određenim kutom na zamišljenoj površini tvore cijev za protok. Čestice fluida se ne sijeku, već su uvijek paralelne, a cijev za protok će nalikovati cijevi čiji je oblik i dalje isti. Fluid koji ulazi na jednom kraju cijevi izlazit će iz cijevi na drugom kraju.
Zaduženje
Ispuštanje izražava volumen fluida koji teče kroz određeni presjek u određenom vremenskom intervalu. Matematički se to može izraziti:
Ispuštanje = Volumen tekućine / vremenski interval
Q = V/t
Kako bismo vam bolje razumjeli, koristimo primjer. Na primjer, tekućina teče kroz cijev. Cijevi su obično cilindrične i imaju određenu površinu poprečnog presjeka. Cijev također ima duljinu.
Kada fluid teče u cijevi do L, volumen fluida u cijevi je V = AL (V = volumen fluida, A = površina poprečnog presjeka i L = duljina cijevi). Budući da je fluidu potreban određeni vremenski interval dok teče u cijevi duž L, možemo reći da je količina fluida:
Budući da je v = s / t = L / t —> L = vt, gornja jednadžba se mijenja u:
Dakle, kada fluid teče kroz cijev određene površine presjeka i duljine, tijekom određenog razdoblja, količina ispuštene fluida (Q) jednaka je površini presjeka (A) pomnoženoj s brzinom protoka fluida (v).
Jednadžba kontinuiteta
Pregledajte protok fluida u cijevi različitog promjera, kao što je prikazano na slici ispod.
Ova slika prikazuje tok fluida s lijeva na desno (fluid teče iz cijevi velikog promjera u cijev malog promjera). Isprekidana linija je aerodinamična.
A 1 = površina presjeka cijevi velikog promjera, A 2 = površina presjeka malog promjera, v 1 = brzina strujanja fluida u cijevi velikog promjera, v 2 = brzina strujanja fluida u cijevi malog promjera, L = prijeđena udaljenost fluida.
U stalnom toku, brzina protoka čestica fluida u jednoj točki jednaka je brzini protoka drugih čestica fluida koje prolaze kroz tu točku. Tok fluida se također ne siječe (linije su paralelne). Stoga masa fluida koji ulazi u jedan kraj cijevi mora biti jednaka masi fluida koji izlazi na drugom kraju. Ako fluid ima određenu masu koja dolazi u cijev velikog promjera, tada će fluid izlaziti na cijevi malog promjera s istom masom.
Sada razmotrite gornju sliku cijevi. Pregledajte cijev velikog promjera i cijev malog promjera.
Tijekom određenog vremenskog intervala, neki fluidi teku kroz dio cijevi velikog promjera (A1 ) do L1 ( L1 = v1t ) . Volumen fluida koji teče je V1 = A1L1 = A1v1t . Tijekom istog vremenskog intervala, neki drugi fluidi teku kroz dio cijevi malog promjera (A2 ) do L2 ( L2 = v2t ) . Volumen fluida koji teče je V2 = A2L2 = A2v2t.
Jednadžba kontinuiteta za nestlačive fluide
U nestlačivim fluidima, gustoća fluida je uvijek ista u svakoj točki kroz koju prolazi. Masa fluida koja teče u cijevi s poprečnim presjekom A1 (veliki promjer cijevi) tijekom određenog vremenskog intervala je:
Slično tome, masa fluida koji teče u cijevi s poprečnim presjekom A² ( mali promjer cijevi) tijekom određenog vremenskog intervala je:
U stalnom toku, masa ulazne tekućine jednaka je masi tekućine koja izlazi, pa:
m1 = m2
ρA1v1t = ρA2v2t
A1 v1 = A2 v 2
Dakle, jednadžba kontinuiteta u nestlačivim fluidima:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — Jednadžba 1
A 1 = površina presjeka 1, A 2 = površina presjeka 2, v 1 = brzina strujanja fluida u presjeku 1, v 2 = brzina strujanja fluida u presjeku 2, A v = brzina protoka volumena (V / t) = ispust.
Jednadžba 1 pokazuje da je protok uvijek isti u svakoj točki duž cijevi ili protočne cijevi. Kada se presjek cijevi smanji, protok fluida se poveća, dok kada se presjek cijevi poveća, protok fluida postaje mali.
Kada je dio otvora slavine zatvoren, protok vode postaje jači nego kada dio otvora slavine nije zatvoren. To je zato što površina presjeka slavine postaje manja kada je dio otvora slavine zatvoren, tako da se brzina protoka vode povećava. No, bitno je znati da je brzina protoka ili ispuštanje tekućine uvijek ista u svakoj točki duž toka vode, bez obzira je li dio otvora naše slavine zatvoren ili ne. Dakle, što se mijenja brzinom protoka tekućine?
Što je onda s protokom vode u rijeci? Duboki dio rijeke ima veći presjek od plitkog dijela rijeke, pa je brzina protoka vode u dubokoj rijeci manja od brzine protoka vode u plitkom dijelu rijeke.
Jednadžba kontinuiteta za kompresibilne fluide
Za komprimirani fluid, gustoća fluida nije uvijek ista. Drugim riječima, gustoća fluida se mijenja kada se komprimira. Ako fluid nije komprimiran, gustoća fluida se uklanja iz jednadžbe, pa je u ovom slučaju gustoća fluida uključena u jednadžbu. Pozivajući se na jednadžbu koja je prethodno izvedena, izvedimo jednadžbu za komprimirani fluid.
Masa fluida koji ulazi jednaka je masi fluida koji izlazi, dakle:
m1 = m2
ρA1v1t = ρA2v2t
Interval protoka fluida je isti tako da se može eliminirati. Jednadžbe se mijenjaju u:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → jednadžba 2
Ovo je jednadžba za komprimirani fluid. Razlika leži u gustoći fluida. Ako je fluid komprimiran, gustoća se mijenja. Obrnuto, ako fluid nije komprimiran, gustoća je uvijek ista tako da se može ukloniti iz jednadžbe.
Primjer problema 1:
Voda teče kroz cijev promjera 10 cm brzinom od 2 m/s. Koliki je protok vode?
Poznato:
Promjer cijevi = 10 cm
Polumjer cijevi (r) = 5 cm = 0.05 m
Brzina vode (v) = 2 m/s
Traži se: Debitna kartica
rješenje:
Q = A v
Q = (πr² ) (2 m/s)
Q = (3.14)(0.05 m) ² (2 m/s)
Q = (3.14)(0.0025 m² ) (2 m/s)
Q = 0.0157 m³ / s
Primjer problema 2:
Cijev promjera 20 cm spojena je na drugu cijev promjera 10 cm. Ako je brzina vode u cijevi promjera 20 cm 4 m/s, kolika je brzina vode u cijevi promjera 10 cm?
Poznato:
Promjer 1 = 20 cm (r 1 = 10 cm = 0.1 m)
v1 = 4 m/ s
Promjer 2 = 10 cm (r 2 = 5 cm = 0.05 m)
Traži se: v 1
Odgovor:
Q1 = Q2
A1 v1 = A2 v 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0.1 m) 2 (4 m/s) = (0.05 m) 2 (v 2 )
(0.01 m² ) (4 m/s) = (0.0025 m² ) ( v² )
(0.04 m³ / s) = (0.0025 m² ) ( v² )
v2 = 16 m/ s
