Primjer pitanja za raspravu o jednadžbi kruga
Jednadžba kružnice važna je tema u analitičkoj geometriji. Dobro razumijevanje jednadžbe kružnice izuzetno je korisno, ne samo u matematici već i u raznim inženjerskim i znanstvenim primjenama. U ovom ćemo članku raspravljati o nekoliko primjera jednadžbi kružnice i njihovim rješenjima. Cilj je pružiti jasan i sveobuhvatan pregled kako rješavati probleme koji uključuju jednadžbe kružnice.
Opća jednadžba kruga
Najčešća jednadžba kruga u Kartezijevim koordinatama je:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Gdje:
– \( (a, b) \) su koordinate središta kružnice.
– \( r \) je polumjer kružnice.
Ako je središte kružnice u točki \( (0, 0) \), jednadžba kružnice bit će:
\[x^2 + y^2 = r^2 \]
Sada, razmotrimo neke primjere pitanja i njihova rješenja.
Primjer pitanja 1
Pitanje: Odredite jednadžbu kružnice čije je središte u točki (3, -2) i ima polumjer 5.
Otopina:
Koristite opću formulu za jednadžbu kruga:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Zamijenite vrijednosti \( a = 3 \), \( b = -2 \) i \( r = 5 \):
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Dakle, jednadžba kruga je:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Primjer pitanja 2
Pitanje: Odredite jednadžbu kružnice čije je središte u ishodištu (0, 0) i ima polumjer 7.
Otopina:
Budući da je središte kružnice u ishodištu, možemo koristiti jednostavnu jednadžbu:
\[x^2 + y^2 = r^2 \]
Zamijenite vrijednost \( r = 7 \):
\[x^2 + y^2 = 7^2 \]
\[x^2 + y^2 = 49 \]
Dakle, jednadžba kruga je:
\[x^2 + y^2 = 49 \]
Primjer pitanja 3
Pitanje: Odredite jednadžbu kružnice čije je središte u točki (4, -5) i dodiruje os Y.
Otopina:
Kružnica tangentna na Y-osi znači da je udaljenost od središta kružnice do Y-osi jednaka njezinom polumjeru. Ta udaljenost je apsolutna vrijednost X-koordinate središta kružnice. Dakle, polumjer je 4.
Koristite opću formulu za jednadžbu kruga:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Zamijenite vrijednosti \( a = 4 \), \( b = -5 \) i \( r = 4 \):
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 4^2 \]
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Dakle, jednadžba kruga je:
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Primjer pitanja 4
Pitanje: Krug ima jednadžbu \( x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \). Odredite središte i polumjer kružnice.
Otopina:
Da bismo riješili ovu jednadžbu, moramo je pretvoriti u standardni oblik \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \). Koraci za njezino dovršavanje su sljedeći:
1. Grupiranje i rješavanje savršenih kvadrata:
Početna jednadžba je:
\[ x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \]
Grupa \(x \) i \(y \):
\[ (x^2 – 6x) + (y^2 + 4y) = 12 \]
2. Riješite savršeni kvadrat:
Za \(x^2 – 6x \):
\[x^2 – 6x + 9 \]
Za \(y^2 + 4y \):
\[y^2 + 4y + 4 \]
Dodajte 9 i 4 objema stranama jednadžbe:
\[ (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Dakle, jednadžba kruga u standardnom obliku je:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Odavde možemo vidjeti da je središte kruga \( (3, -2) \), a polumjer je \( r = \sqrt{25} = 5 \).
Primjer pitanja 5
Pitanje: Odredite jednadžbu kružnice koja prolazi kroz točke (2, 3) i (4, 5), a čije je središte na pravcu x = 3.
Otopina:
Iz zadatka znamo da je središte kružnice (3, b). Kružnica također prolazi kroz dvije poznate točke. Budući da kružnica prolazi kroz (2, 3), udaljenost od središta do te točke je polumjer.
Jednadžba kruga je:
\[ (x – 3)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Točka zamjene (2, 3):
\[ (2 – 3)^2 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ (3 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Točka zamjene (4, 5):
\[ (4 – 3)^2 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ (5 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Iz dvije jednadžbe znamo (3 – b)^2 = (5 – b)^2. Dakle:
\[3 – b = \pm(5 – b) \]
Ako je \( 3 – b = 5 – b \), rezultat ne može biti istinit. Dakle:
\[3 – b = -(5 – b) \]
\[b = 4 \]
Za b = 4, jednadžba kružnice je:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Međutim, možemo izračunati polumjer r iz udaljenosti između središta i točke (2, 3) = \(\sqrt{(2 – 3)^2 + (3 – 4)^2} \) = \(\sqrt{1+1}\) = \(\sqrt {2}\)
Jednadžba kruga je:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Zaključak
Razumijevanje jednadžbe kruga može pojednostaviti rješavanje mnogih matematičkih problema. U svakom slučaju, određivanje središta i polumjera je ključno. Nadamo se da će ovi primjeri problema i njihova objašnjenja pružiti pojašnjenje i pomoći vam da naučite jednadžbu kruga. Vježba čini majstora u matematici, stoga ne ustručavajte se isprobati razne probleme kako biste poboljšali svoje vještine.
