Primjeri pitanja o primjeni integrala u fizici
Upotreba integrala u fizici vrlo je važan i širok koncept. Primjena integrala omogućuje fizičarima i inženjerima izračunavanje raznih složenih prirodnih pojava, bilo da su povezane s gibanjem, energijom, silom ili drugim aspektima. Ovaj članak istražit će nekoliko primjera problema i raspraviti primjenu integrala u fizici.
1. Izračunavanje rada promjenjivom silom
Pitanje
Sila koja se mijenja s položajem \(x\) dana je s \( F(x) = 3x^2 \). Izračunajte rad koji izvrši ova sila kada se objekt pomakne od \(x = 0\) do \(x = 2 \) metara.
Rasprava
Rad koji izvrši promjenjiva sila je integral sile po udaljenosti. Ako je zadana sila \( F(x) \) kao funkcija položaja \(x\), rad možemo izraziti kao:
\[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
U ovom slučaju:
\[ F(x) = 3x^2 \]
\[ a = 0 \, \text{metar} \]
\[ b = 2 \, \text{metar} \]
Tada je rad \(W\):
\[ W = \int_{0}^{2} 3x^2 \, dx \]
Izračunavamo ovaj integral:
\[
W = 3 \int_{0}^{2} x^2 \, dx
= 3 [x^3}{3]_{0}^{2}
= 3 ( \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3})
= 3 (8}{3 – 0)
= 8 \, \text{džula}
\]
Dakle, rad koji je izvršila sila je 8 džula.
2. Izračunavanje središta mase homogenog štapa
Pitanje
Homogeni štap duljine \(L\) nalazi se na x-osi od \( x = 0 \) do \( x = L \). Izračunajte položaj središta mase štapa.
Rasprava
Za homogeni štap, masa je jednoliko raspoređena duž njegove duljine. Možemo pretpostaviti da štap ima konstantnu linearnu masu \(\lambda\) (masa po jedinici duljine).
Središte mase (\(x_{cm}\)) je dano s:
\[x_{cm} = \frac{\int x \, dm}{\int dm} \]
Budući da je masa homogeno raspoređena, možemo izraziti \(dm = \lambda \, dx\) i granični integral od \(x = 0\) do \(x = L\):
\[
x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x \lambda \, dx}{\int_{0}^L \lambda \, dx}
\]
Integracija preko \(\lambda\) je konstantna i može se poništiti:
\[
x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x \, dx}{\int_{0}^{L} dx}
= \frac{\lijevo[ \frac{x^2}{2} \desno]_{0}^{L}}{ \lijevo[x \desno]_{0}^{L} }
= \frac{\frac{L^2}{2} – 0}{L – 0}
= \frac{L^2 /2}{L}
= \frac{L}{2}
\]
Dakle, položaj središta mase štapa je u \( \frac{L}{2} \), ili u sredini štapa.
3. Izračun elektrostatičke sile na temelju Coulombovog zakona
Pitanje
Dva naboja \(q_1\) i \(q_2\) nalaze se duž x-osi u točkama \(x = 0\) i \(x = L\). Izračunajte elektrostatsku silu između dva naboja.
Rasprava
Coulombov zakon kaže da je sila između dva točkasta naboja izravno proporcionalna umnošku naboja i obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti među njima:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]
Gdje:
– \(k_e\) je Coulombova konstanta \((8.99 \puta 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2)\)
– \(r\) je udaljenost između naboja
U ovom slučaju, \(q_1\) i \(q_2\) leže u \(x = 0\) i \(x = L\), tada je udaljenost \(r = L\).
Elektrostatička sila je:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{L^2} \]
Ovo je uobičajeno rješenje za izračunavanje elektrostatske sile između dva točkasta naboja postavljena na određenoj udaljenosti.
4. Izračun magnetskog fluksa
Pitanje
Kružna žičana petlja polumjera \(r\) smještena je u uniformnom magnetskom polju \(B\), koje je okomito na ravninu petlje. Izračunajte magnetski tok kroz petlju.
Rasprava
Magnetski tok (\(\Phi_B\)) kroz područje \(A\) u magnetskom polju \(B\) dan je s:
\[ \Phi_B = \int B \cdot dA \]
Budući da je magnetsko polje \(B\) uniformno i okomito na ravninu petlje, jednostavni integral postaje:
\[ \Ph_B = B \cdot A \]
Gdje je površina \(A\) kruga s polumjerom \(r\):
\[ A = \pi r^2 \]
Tada je magnetski tok kroz petlju:
\[ \Phi_B = B \cdot \pi r^2 \]
Dakle, magnetski tok kroz petlju je \( B \pi r^2 \).
Zaključak
Upotreba integrala u fizici neizbježna je kada moramo izračunati informacije vezane uz složene prirodne pojave. Od izračuna rada koji obavlja promjenjiva sila, određivanja središta mase objekta, izračuna elektrostatskih sila na temelju Coulombovog zakona, do izračuna magnetskog toka kroz petlju žice u magnetskom polju, sve se oslanja na integrale za rješavanje problema. Temeljito razumijevanje načina na koji integrali funkcioniraju u različitim fizikalnim kontekstima ne samo da pojednostavljuje rješavanje problema, već i pruža dublji uvid u mehaniku svemira na molekularnoj do galaktičkoj razini.
