Primjeri pitanja o vjerojatnosti složenih događaja
Uvod u vjerojatnost složenih događaja
Vjerojatnost je grana matematike koja proučava vjerojatnost nastanka događaja. Vjerojatnost složenog događaja je vjerojatnost događaja koji uključuje više od jednog događaja. Na primjer, vjerojatnost bacanja parnog broja na kocki i asa iz špila igraćih karata primjeri su složenih događaja. Ovaj članak će raspravljati o nekoliko primjera problema i raspravljati o vjerojatnosti složenih događaja.
Osnovni koncept vjerojatnosti složenih događaja
Postoje dvije vrste složenih događaja:
1. Međusobno isključivi događaji: Dva događaja koja se ne mogu dogoditi istovremeno. Na primjer, prilikom bacanja kocke, događaji bacanja 2 i 5 su međusobno isključivi događaji jer je nemoguće baciti oba broja istovremeno.
2. Događaji koji se ne isključuju: Dva događaja koja se mogu dogoditi istovremeno. Na primjer, u izvlačenju igraćih karata, događaji dobivanja karte srca (♥) i karte s brojem 10 su događaji koji se ne isključuju jer postoji karta srca s brojem 10.
Evo nekoliko osnovnih formula koje se koriste za izračunavanje vjerojatnosti složenih događaja:
– P(A ili B) (za događaje koji se ne isključuju): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
– P(A ili B) (za međusobno isključive događaje): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
– P(A i B) (za neovisne događaje): \(P(A \cap B) = P(A) \puta P(B)\)
Primjeri pitanja i rasprava
Primjer pitanja 1: Kocke
Pitanje:
Kolika je vjerojatnost da se na kocki dobije paran broj ili broj veći od 4?
Rasprava:
Prvo, definirajmo događaje:
– Događaj A: Dobivanje parnog broja (2, 4, 6)
– Događaj B: Dobivanje broja većeg od 4 (5, 6)
Zatim određujemo vjerojatnost svakog događaja:
– \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
– \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
Budući da postoji broj 6 koji je uključen u oba događaja A i B, moramo izračunati \(P(A \cap B)\):
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) (jer je samo jedan broj, naime 6, uključen i u A i u B)
Korištenjem formule za događaje koji se ne isključuju:
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A + B) = 1/2 + 1/3 – 1/6
Izjednačimo nazivnike ovih razlomaka:
\[P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]
Dakle, vjerojatnost dobivanja parnog broja ili broja većeg od 4 je \(\frac{2}{3}\).
Primjer pitanja 2: Igranje karata
Pitanje:
Kolika je vjerojatnost da se iz špila igraćih karata dobije as ili pik?
Rasprava:
Prvo, definirajmo događaje:
– Događaj A: Dobivanje asa (ukupno 4, po jedan za svaku boju)
– Događaj B: Dobivanje pik karte (ukupno 13)
Zatim određujemo vjerojatnost svakog događaja:
– \(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
– \(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)
Budući da je as pik uključen u oba događaja A i B, moramo izračunati \(P(A \cap B)\):
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{52}\)
Korištenjem formule za događaje koji se ne isključuju:
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A + B) = 1/13 + 1/4 – 1/52
Izjednačimo nazivnike ovih razlomaka:
\[
P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} – \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}
\]
Dakle, vjerojatnost dobivanja asa ili pika je \(\frac{4}{13}\).
Primjer problema 3: Lopta u kutiji
Pitanje:
U kutiji se nalaze 3 crvene kuglice, 4 plave kuglice i 5 zelenih kuglica. Ako se jedna kuglica izvuče nasumično, kolika je vjerojatnost da će se dobiti crvena ili zelena kuglica?
Rasprava:
Prvo, definirajmo događaje:
– Događaj A: Dobivanje crvene kugle (broj 3)
– Događaj B: Dobivanje zelene lopte (broj 5)
Zatim određujemo vjerojatnost svakog događaja:
– Ukupan broj kuglica = 3 + 4 + 5 = 12
– \(P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
– \(P(B) = \frac{5}{12}\)
Budući da nijedna kugla ne može biti istovremeno i crvena i zelena, ovi događaji se međusobno isključuju:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\]
Izjednačimo nazivnike ovih razlomaka:
\[
P(A \cup B) = \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}
\]
Dakle, vjerojatnost dobivanja crvene ili zelene kuglice je \(\frac{2}{3}\).
Primjer pitanja 4: Dva novčića
Pitanje:
Ako se istovremeno bace dva novčića, kolika je vjerojatnost da će se pojaviti barem jedna glava?
Rasprava:
Definiramo Događaj A: doživljavanje barem jedne slike.
Postoje četiri moguća ishoda bacanja dva novčića:
1. HH
2. HT
3. TH
4. TT
Događaji koji sadrže barem jednu sliku su:
– HT
– TH
– TT
Izračunajmo vjerojatnost svakog od njih:
– Broj mogućih događaja (ukupno): 4
– Broj događaja koji sadrže barem jednu sliku: 3
\[
P(A) = \frac{Broj događaja s barem jednom glavom}{Ukupan broj događaja} = \frac{3}{4}
\]
Dakle, vjerojatnost pojavljivanja barem jedne slike je \(\frac{3}{4}\).
Zaključak
Rasprava o gore navedenim problemima pokazuje kako možemo izračunati vjerojatnost složenog događaja, bez obzira je li međusobno isključiv ili ne. Razumijevanjem osnovnih koncepata i korištenjem ispravnih formula možemo odrediti vjerojatnost određenih kombinacija događaja koji se događaju u raznim svakodnevnim situacijama. Nastavite vježbati svoje vještine s raznim problemima kako biste postali vještiji u određivanju vjerojatnosti složenih događaja.
