Primjer pitanja za raspravu o koeficijentu determinacije
Koeficijent determinacije (R²) važan je parametar u regresijskoj analizi koji pokazuje koliko dobro regresijski model objašnjava stvarnu varijabilnost podataka. U ovom ćemo članku objasniti koncept koeficijenta determinacije kroz detaljan primjer i raspravu.
Osnovni koncept koeficijenta determinacije
Koeficijent determinacije ili \( R^2 \) mjeri se na skali od 0 do 1, gdje je:
– \( R^2 = 0 \) pokazuje da regresijski model uopće ne može objasniti varijabilnost podataka.
– \( R^2 = 1 \) pokazuje da regresijski model može savršeno objasniti svu varijabilnost podataka.
Osnovna formula za izračunavanje koeficijenta determinacije je:
\[R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
Gdje:
– SSR (Sum of Squared Residuals) je zbroj kvadrata razlika između vrijednosti predviđenih modelom i stvarnih vrijednosti.
– SST (Ukupni zbroj kvadrata) je zbroj zbroja kvadrata razlika između stvarne vrijednosti i prosjeka stvarnih vrijednosti.
Primjer problema
Razmotrimo primjer problema kako bismo detaljnije razumjeli izračun koeficijenta determinacije.
Primjer problema:
Pretpostavimo da imamo podatke o broju sati učenja (X) i rezultatima ispita (Y) 10 studenata:
| Studenti | Sati učenja (X) | Rezultat ispita (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
Izradit ćemo jednostavan linearni regresijski model gdje se rezultati ispita (Y) predviđaju na temelju sati učenja (X).
Rasprava
1. Izgradnja jednostavnog modela linearne regresije
Jednostavan linearni regresijski model ima oblik:
\[ Y = a + bX \]
Gdje:
– \( Y \) je predviđeni rezultat testa.
– \( X \) je broj sati učenja.
– \( a \) je odsječak na osi Y kada je X = 0).
– \( b \) je nagib (inklinacija regresijske linije).
Za izračun parametara \(a \) i \(b \) koristimo sljedeću formulu:
\[ b = \frac{n(\suma{XY}) – (\suma{X})(\suma{Y})}{n(\suma{X^2}) – (\suma{X})^2} \]
\[ a = \frac{\suma{Y} – b(\suma{X})}{n} \]
Gdje je \( n \) broj podataka (u ovom slučaju n = 10).
Iz tablice možemo izračunati:
– \(\suma{X} = 36\)
– \(\suma{Y} = 704\)
– \(\suma{X^2} = 140\)
– \(\suma{Y^2} = 50428\)
– \(\suma{XY} = 2576\)
Prvo izračunajmo b:
\[b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[b = \frac{416}{104} \]
\[b = 4 \]
Zatim izračunavamo:
\[ a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[ a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\[ a = 56 \]
Dakle, linearni regresijski model koji dobivamo je:
\[ Y = 56 + 4X \]
2. Izračunajte predviđenu vrijednost (Y')
Zatim izračunavamo predviđenu vrijednost \( Y' \) za svaki \( X \):
| Studenti | Sati učenja (X) | Rezultat ispita (Y) | Predviđeni rezultat (Y') |
|——-|——————–|——————–|————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
3. Izračun SSR-a i SST-a
Zatim izračunavamo SSR i SST kako bismo dobili \( R^2 \).
SSR:
\[SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
\[SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[SSR = 454 \]
SST:
\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
Gdje:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ SST = 1107.44 \]
4. Izračun koeficijenta determinacije \( R^2 \):
\[R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[R^2 = 1 – 0.41 \]
\[R^2 = 0.59 \]
Zaključak
Iz gornjeg izračuna dobili smo koeficijent determinacije (R2 = 0.59). To ukazuje na to da linearni regresijski model koji smo stvorili može objasniti približno 59% varijabilnosti u rezultatima ispita na temelju sati učenja. Preostalih 41% varijabilnosti moglo bi biti posljedica drugih čimbenika koji nisu uključeni u model.
Razumijevanjem gore navedenih koraka i izračuna, možemo vidjeti važnost koeficijenta determinacije u procjeni koliko dobro regresijski model koji gradimo objašnjava stvarnu varijabilnost podataka. To je vrlo koristan alat u statističkoj analizi i modeliranju podataka.
