Primjeri pitanja i rasprava o kružnim isječcima
Isječci kruga važna su tema u matematici koja se često pojavljuje na ispitima i vježbama. Isječak je dio kruga omeđen s dva radijusa i lukom koji ih spaja. U ovom ćemo članku raspravljati o nekoliko primjera problema o isječcima kruga, uz detaljna objašnjenja, kako bismo produbili naše razumijevanje.
Definicija kružnog isječka
Isječak kruga je isječak kruga omeđen s dva radijusa i jednim lukom. Površina isječka izračunava se na temelju udjela ukupne površine kruga. Glavna formula koja se koristi za izračunavanje isječka je sljedeća:
– Područje žigosanja: \[L_žigosanje = \frac{\theta}{360^\circ} \puta \pi \puta r^2\]
– Duljina luka: \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \puta 2\pi r\]
Gdje:
– \( \theta \) je veličina kuta sektora u stupnjevima,
– \( r \) je polumjer kružnice,
– \( \pi \) je konstanta (približno 3.14159).
Primjeri pitanja i rasprava
Pitanje 1:
Zadan je krug polumjera 10 cm i isječak sa središnjim kutom od 90°. Izračunajte površinu isječka.
Rasprava:
Poznato je:
– \(r = 10 \) cm
– \( \theta = 90^\circ \)
Koristimo formulu za površinu sektora:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \puta \pi \puta r^2\]
\[L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \puta \pi \puta (10\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{4} \puta \pi \puta 100\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 25\pi\text{ cm}^2\]
Ako se uzme da je \( \pi \) jednako 3.14, tada:
\[L_juring = 25 \puta 3.14\text{ cm}^2 = 78.5\text{ cm}^2\]
Dakle, površina sektora je 78.5 cm².
Pitanje 2:
Isječak kruga ima polumjer 7 cm i duljinu luka 11 cm. Odredite središnji kut isječka u radijanima.
Rasprava:
Poznato je:
– \(r = 7 \) cm
– Duljina luka \( P_b = 11 \text{ cm} \)
Koristimo formulu za duljinu luka kako bismo pronašli kut \( \theta \):
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \puta 2\pi r\]
Budući da se od nas traži da odredimo kut u radijanima, zamjenjujemo 360° s \(2\pi\) radijana:
\[P_b = \theta \puta r\]
\[11 = \theta \puta 7\]
\[\theta = \frac{11}{7}\]
\[\theta \približno 1.57 \text{ rad}\]
Dakle, središnji kut sektora je 1.57 radijana.
Pitanje 3:
Krug polumjera 16 cm ima isječak površine 200 cm². Izračunajte središnji kut isječka.
Rasprava:
Poznato je:
– \(r = 16 \) cm
– \( L_juring = 200 \text{ cm}^2 \)
Koristimo formulu površine za sektor kako bismo pronašli \( \theta \):
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \puta \pi \puta r^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \puta \pi \puta (16)^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \puta \pi \puta 256\]
\[200 = \frac{\theta \puta 256 \puta \pi}{360^\circ}\]
\[200 \puta 360^\circ = \theta \puta 256 \puta 3.14\]
\[72000 = \theta \puta 256 \puta 3.14\]
\[72000 = \theta \puta 804.64\]
\[\theta = \frac{72000}{804.64}\]
\[\theta \približno 89.45^\kružnica\]
Dakle, središnji kut sektora je približno 89.45°.
Pitanje 4:
Izračunajte ukupni opseg isječka koji ima polumjer 12 cm i središnji kut od 120°.
Rasprava:
Poznato je:
– \(r = 12 \) cm
– \( \theta = 120^\circ \)
Prvo, pronalazimo duljinu luka:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \puta 2\pi r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \puta 2\pi \puta 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \puta 2\pi \puta 12\]
\[P_b = 8\pi\cm\]
Zatim izračunavamo opseg sektora (duljina luka + dva radijusa):
\[K = 2r + P_b\]
\[K = 2 \puta 12\cm} + 8\pi\cm}\]
\[K = 24 cm + 8 π cm
Ako se uzme da je \( \pi \) jednako 3.14, tada:
\[K = 24\cm} + 8 \puta 3.14\cm}\]
\[K = 24 cm + 25.12 cm
\[K = 49.12\text{ cm}\]
Dakle, ukupni opseg sektora je 49.12 cm.
Pitanje 5:
Ako krug polumjera 18 cm ima isječak koji zatvara kut od 45°, odredite duljinu luka i površinu isječka.
Rasprava:
Poznato je:
– \(r = 18 \) cm
– \( \theta = 45^\circ \)
1. Duljina luka:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \puta 2\pi r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \puta 2\pi \puta 18\text{ cm}\]
\[P_b = \frac{1}{8} \puta 36\pi\cm}\]
\[P_b = 4.5\pi\cm\]
Ako se uzme da je \( \pi \) jednako 3.14, tada:
\[P_b = 4.5 \puta 3.14\text{ cm} \približno 14.13\text{ cm}\]
Dakle, duljina luka je oko 14.13 cm.
2. Područje sektora:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \puta \pi \puta r^2\]
\[L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \puta \pi \puta (18\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{8} \puta \pi \puta 324\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 40.5\pi\text{ cm}^2\]
Ako se uzme da je \( \pi \) jednako 3.14, tada:
\[L_juring = 40.5 \puta 3.14\text{ cm}^2 \približno 127.17\text{ cm}^2\]
Dakle, površina sektora je približno 127.17 cm².
Zaključak
U ovom članku raspravljali smo o nekoliko primjera problema vezanih uz isječke kruga i njihova rješenja. Bit razumijevanja isječaka kruga leži u savladavanju osnovnih formula za izračunavanje površine isječka i duljine luka. Česta praksa i razumijevanje primjene ovih formula na različite vrste problema nadamo se da će vam pomoći u poboljšanju sposobnosti rješavanja sličnih problema.
