Primjer pitanja za raspravu o Comptonovom efektu
Comptonov efekt ključna je pojava u kvantnoj fizici. Ovo otkriće ne samo da produbljuje naše razumijevanje dualnosti valno-čestičnog sustava svjetlosti, već i pruža snažne dokaze za kvantnu teoriju zračenja. Ovaj članak će pregledati Comptonov efekt, njegove osnovne principe i pružiti neke primjere problema i rješenja za primjenu ovog koncepta.
Razumijevanje Comptonovog efekta
Comptonov efekt, nazvan po svom otkrivaču Arthuru H. Comptonu, fenomen je u kojem se foton (čestica svjetlosti) sudara s elektronom i doživljava promjenu valne duljine. Nakon sudara, foton prenosi dio svoje energije na elektron, uzrokujući povećanje valne duljine fotona (ili smanjenje frekvencije).
Ova promjena valne duljine naziva se Comptonov pomak i može se izraziti jednadžbom:
\[
Δλ = λ' – λ = hm_ec(1 – cos θ)
\]
Gdje:
– \(\Delta \lambda\) je promjena valne duljine fotona,
– \(\lambda\) je početna valna duljina fotona,
– \(\lambda'\) je valna duljina fotona nakon sudara,
– \(h\) je Planckova konstanta (\(6.626 \puta 10^{-34} \, \text{Js}\)),
– \(m_e\) je masa elektrona (\(9.109 \puta 10^{-31} \, \text{kg}\)),
– \(c\) je brzina svjetlosti (\(3 \puta 10^8 \, \text{m/s}\)),
– \(\theta\) je kut raspršenja fotona.
Primjeri pitanja i rasprava
Pitanje 1
Foton valne duljine 0,1 nm udara u nepokretni elektron. Foton se zatim raspršuje pod kutom od 90° u odnosu na svoj izvorni smjer. Izračunajte valnu duljinu fotona nakon sudara!
Rasprava:
Poznato je:
– Početna valna duljina, \(\lambda = 0.1 \, \text{nm} = 0.1 \puta 10^{-9} \, \text{m}\)
– Kut raspršenja, \(\theta = 90^\circ \)
Korištenje Comptonove jednadžbe pomaka:
\[
Δλ = hm_ec(1 – cosθ)
\]
Zamijenite vrijednosti Planckove konstante, mase elektrona i brzine svjetlosti:
\[
Δλ = 6.626 x 10⁻¹⁴ + 9.109 x 10⁻¹ + 3 x 10⁻¹ (1 – cos 90°)
\]
Budući da je \(\cos 90^\circ = 0\),
\[
Δλ = 6.626 x 10⁻⁴ + 9.109 x 10⁻⁴ + 3 x 10⁻⁴
\]
\[
Δλ = 6.626 x 10⁻⁴ + 2.7327 x 10⁻⁴ + 22
\]
\[
Δλ = 2.43 x 10⁻¹² m = 0.00243 nm
\]
Dakle, valna duljina nakon sudara je:
\[
λ = λ + Δ λ = 0.1 nm + 0.00243 nm = 0.10243 nm
\]
Pitanje 2
Foton valne duljine ( λ = 0.05 nm) raspršen je pod kutom ( θ = 120°). Odredite valnu duljinu fotona nakon raspršenja.
Rasprava:
Poznato je:
– Početna valna duljina, \(\lambda = 0.05 \, \text{nm} = 0.05 \puta 10^{-9} \, \text{m}\)
– Kut raspršenja, \(\theta = 120^\circ \)
Korištenje Comptonove jednadžbe pomaka:
\[
Δλ = hm_ec(1 – cosθ)
\]
Zamijenite vrijednosti Planckove konstante, mase elektrona i brzine svjetlosti:
\[
Δλ = 6.626 x 10⁻¹⁴ + 9.109 x 10⁻¹ + 3 x 10⁻¹ (1 – cos 120°)
\]
Budući da je \(\cos 120^\circ = -0.5\),
\[
Δλ = 6.626 x 10⁻¹⁴ + 9.109 x 10⁻¹ + 3 x 10⁻¹ (1 – (-0.5))
\]
\[
Δλ = 6.626 x 10⁻⁴ + 9.109 x 10⁻⁴ + 3 x 10⁻⁴ (1 + 0.5)
\]
\[
Δλ = 6.626 x 10⁻⁴ + 2.7327 x 10⁻² + 1.5
\]
\[
Δλ = 2.43 puta 10^{-12} \, \text{m} \puta 1.5 = 3.645 \puta 10^{-12} \, \text{m} = 0.003645 \, \text{nm}
\]
Dakle, valna duljina nakon sudara je:
\[
λ = λ + Δ λ = 0.05 nm + 0.003645 nm = 0.053645 nm
\]
Pitanje 3
Ako je valna duljina fotona nakon raspršenja 0.045 nm, a kut raspršenja je \(60^\circ\), odredite valnu duljinu fotona prije raspršenja.
Rasprava:
Poznato je:
– Valna duljina nakon sudara, \(\lambda' = 0.045 \, \text{nm} = 0.045 \puta 10^{-9} \, \text{m}\)
– Kut raspršenja, \(\theta = 60^\circ \)
Korištenje Comptonove jednadžbe pomaka:
\[
Δλ = hm_ec(1 – cosθ)
\]
Zamijenite vrijednosti Planckove konstante, mase elektrona i brzine svjetlosti:
\[
Δλ = 6.626 x 10⁻¹⁴ + 9.109 x 10⁻¹ + 3 x 10⁻¹ (1 – cos 60°)
\]
Budući da je \(\cos 60^\circ = 0.5\),
\[
Δλ = 6.626 x 10⁻⁴ + 9.109 x 10⁻⁴ + 3 x 10⁻⁴ (1 – 0.5)
\]
\[
Δλ = 6.626 x 10⁻⁴ + 2.7327 x 10⁻² + 0.5
\]
\[
Δλ = 2.43 puta 10^{-12} \, \text{m} \puta 0.5 = 1.215 \puta 10^{-12} \, \text{m} = 0.001215 \, \text{nm}
\]
Valna duljina nakon sudara je poznata:
\[
λ = λ + Δ λ
\]
Dakle, valna duljina prije raspršenja je:
\[
λ = λ' – Δ λ = 0.045 nm – 0.001215 nm = 0.043785 nm
\]
Zaključak
Razumijevanje Comptonovog efekta omogućuje nam bolje razumijevanje interakcije između fotona i elektrona u kontekstu kvantne fizike. Ovaj pomak valne duljine zbog raspršenja pokazuje dualnost vala i čestice svjetlosti i jača kvantnu teoriju zračenja. Gornji primjeri su izravne primjene Comptonove jednadžbe, što nam može pomoći da razumijemo osnovni koncept i izračunamo promjene valne duljine pod različitim uvjetima.
