Primjeri pitanja i rasprava o binomnoj distribuciji
Binomna distribucija jedna je od najčešće korištenih diskretnih distribucija vjerojatnosti. Korisna je za modeliranje broja uspjeha u nizu identičnih, neovisnih pokušaja, od kojih svaki rezultira ili uspjehom ili neuspjehom. U ovom ćemo članku dublje istražiti binomnu distribuciju pružajući nekoliko primjera i detaljnu raspravu.
Uvod u binomnu distribuciju
Glavne karakteristike binomne distribucije:
1. n: Broj pokušaja ili ponavljanja.
2. p: Vjerojatnost uspjeha u svakom pokušaju.
3. q = 1-p: Vjerojatnost neuspjeha u svakom pokušaju.
Funkcija mase vjerojatnosti binomne distribucije je:
\[ P(X = k) = {n \odaberi k} p^k (1-p)^{nk} \]
Gdje:
– \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): Slučajna varijabla koja predstavlja broj uspjeha.
– \( k \): Broj traženih uspjeha.
Primjeri pitanja i rasprava
Počnimo s nekim primjerima problema kako bismo detaljnije razumjeli koncept binomne distribucije.
Primjer 1: Odabir iz grupe učenika
Na primjer, pretpostavimo da imamo grupu od 10 učenika, a vjerojatnost da je svaki učenik odabran za sudjelovanje u natjecanju je 0,3. Želimo znati vjerojatnost da će biti odabrano točno 4 učenika.
Korak 1: Odredite parametre binomne distribucije.
– \(n = 10 \)
– \(p = 0.3 \)
Korak 2: Pomoću binomne distribucije izračunajte vjerojatnost \( X = 4 \).
\[ P(X = 4) = {10 \izaberi 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Izračunavanje \( {10 \odaberi 4} \):
\[ {10 \choose 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Sada izračunajte \( (0.3)^4 \) i \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Jadi,
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \cca 0.20012 \]
Dakle, vjerojatnost da će biti odabrana točno 4 studenta iznosi približno 0.20012 ili 20.012%.
Primjer 2: Vjerojatnost manja ili jednaka 2
Sada nas, na primjer, pitaju o vjerojatnosti da će biti odabrano manje od ili jednako 2 učenika.
Korak 1: Moramo izračunati \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \) i \( P(X = 2) \).
– Za \(P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = {10 \odaberi 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \odaberi 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– Za \(P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = {10 \izaberi 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \odaberi 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– Za \(P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = {10 \izaberi 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \odaberi 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
Korak 2: Zbrojite vjerojatnosti.
\[ P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X ≤ 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
Dakle, vjerojatnost da je odabrano manje od ili jednako 2 učenika iznosi približno 0.7740671 ili 77.41%.
Primjer 3: Vjerojatnost od najmanje 8
Ako se eksperiment provodi 12 puta, a vjerojatnost uspjeha u svakom pokušaju je 0.5, kolika je vjerojatnost da će se dogoditi barem 8 uspjeha?
Korak 1: Postavite binomne parametre: \( n = 12, p = 0.5 \).
Korak 2: Pronađite vjerojatnost za \( X \geq 8 \).
To zahtijeva izračunavanje nekoliko pojedinačnih vjerojatnosti i njihovo zbrajanje:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Brojite jedan po jedan:
– Za \(P(X = 8) \):
\[ P(X = 8) = {12 \izaberi 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \odaberi 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– Za \(P(X = 9) \):
\[ P(X = 9) = {12 \izaberi 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \odaberi 9} = 220 \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– Za \(P(X = 10) \):
\[ P(X = 10) = {12 \odaberi 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \odaberi 10} = 66 \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– Za \(P(X = 11) \):
\[ P(X = 11) = {12 \odaberi 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \odaberi 11} = 12 \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– Za \(P(X = 12) \):
\[ P(X = 12) = {12 \odaberi 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \odaberi 12} = 1 \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
Korak 3: Zbrojite sve vjerojatnosti.
\[ P(X √(8)) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \približno 0.1938477 \]
Dakle, vjerojatnost da se u 12 pokušaja dogodi barem 8 uspjeha iznosi približno 0.1938477 ili 19.38%.
Zaključak
Binomna distribucija je temeljni koncept u statistici koji je ključan u mnogim praktičnim primjenama. Razumijevanjem načina izračuna vjerojatnosti za različite slučajeve binomne distribucije, kao što je prikazano u gornjim primjerima, možemo primijeniti ovaj koncept u stvarnim situacijama. Ova vježba također pojačava naše razumijevanje kako strukture vjerojatnosti funkcioniraju u jasnom i organiziranom kontekstu.
