Cov Lus Nug Piv Txwv Sib Tham Txog Cov Voj Voog thiab Tangents
Cov voj voog yog ib qho tseem ceeb hauv cov qauv matrix, qhov twg cov tswv yim tob txog qhov deb, lub kaum sab xis, thiab cov duab tau qhia. Ib lub tswv yim uas feem ntau tham txog hauv cov ncauj lus no yog txoj kab tangent rau lub voj voog. Hauv tsab xov xwm no, peb yuav tham txog ntau qhov piv txwv teeb meem uas cuam tshuam nrog cov voj voog thiab tangents.
Kev Nkag Siab Yooj Yim Txog Cov Voj Voog thiab Tangents
Lub voj voog
Ib lub voj voog yog ib daim duab geometric uas tsim los ntawm cov ntsiab lus hauv ib lub dav hlau uas yog qhov deb ntawm ib qho chaw hu ua qhov chaw nruab nrab ntawm lub voj voog. Qhov deb no hu ua lub voj voog ntawm lub voj voog.
Kev sib txuas
Ib txoj kab tangent rau ib lub voj voog yog ib txoj kab uas kov lub voj voog ntawm ib qho chaw. Qhov chaw no hu ua qhov chaw tangency. Tangents muaj ntau yam tseem ceeb, suav nrog:
- Cov kab tangent yeej ib txwm perpendicular rau lub vojvoog ntawm lub voj voog ntawm qhov chaw tangency.
- Qhov ntev ntawm ib qho tangent los ntawm ib qho chaw sab nraud ntawm lub voj voog mus rau lub voj voog yog tib yam yog tias ob qho tangents raug kos los ntawm qhov chaw ntawd.
Cov Lus Nug thiab Kev Sib Tham Piv Txwv
Hauv qab no peb yuav nthuav tawm ob peb lo lus nug piv txwv uas tham txog lub tswv yim ntawm cov voj voog thiab tangents kom ntxaws.
Piv txwv lus nug 1: Nrhiav qhov ntev ntawm kab tangent
Lo lus nug:
Muab ib lub voj voog uas muaj qhov chaw nruab nrab \(O\) thiab radius \(r = 6 \, \text{cm}\). Los ntawm qhov chaw \(P\) sab nraum lub voj voog uas yog 10 cm ntawm qhov chaw nruab nrab ntawm lub voj voog, ob lub tangent \(PA\) thiab \(PB\) raug kos rau ntawm lub voj voog. Xam qhov ntev ntawm lub tangent \(PA\).
Kev Sib Tham:
Hauv qhov teeb meem no, peb siv tau Pythagorean theorem. Kos ib daim duab peb ceg \(\triangle OAP\):
– \(OP = 10 \, \text{cm}\) (qhov deb ntawm qhov chaw sab nraud mus rau qhov chaw nruab nrab ntawm lub voj voog)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (lub vojvoog ntawm lub voj voog)
- \(PA\) yog txoj kab tangent uas yuav tsum nrhiav tau
\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + PA^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]
Yog li, qhov ntev ntawm txoj kab tangent \(PA\) yog 8 cm.
Piv txwv lus nug 2: Nrhiav qhov taw tes ntawm Tangency
Lo lus nug:
Muab ib lub voj voog uas muaj tus qauv \((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) thiab ib txoj kab \(y = 2x + 1\). Txheeb xyuas qhov chaw sib tshuam ntawm lub voj voog thiab txoj kab.
Kev Sib Tham:
Ua ntej, peb txheeb xyuas qhov chaw nruab nrab thiab lub vojvoog ntawm lub voj voog:
– Nruab nrab \(O(3, 4)\)
- Lub vojvoog (r = 25) = 5
Yuav nrhiav tau qhov tangency, cia peb xav tias qhov tangency yog \(T(x_1, y_1)\) uas kuj nyob rau ntawm kab \(y = 2x + 1\). Ces:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
\(T(x_1, y_1)\) kuj yuav tsum ua kom tiav qhov sib npaug ntawm lub voj voog:
\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]
Hloov \(y_1 = 2x_1 + 1\) rau hauv kab zauv voj voog:
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
Peb yuav tsum xam ob lub squares.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Ua ke ob qho txiaj ntsig:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
Rho tawm 25 ntawm ob sab:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Daws cov quadratic equation:
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \times 5 \times 7}}{2 \times 5}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{116}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{4 \times 29}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 4\sqrt{29}}{10}
\]
\[
x_1 = 1.8 ^2 ...
\]
Xam tus nqi ntawm \(y_1\):
Uas ua tiav y = 2x + 1:
– Yog tias \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\), ces \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– Yog tias \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\), ces \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)
Kev Ntsuam Xyuas:
Yog li peb tau ob lub ntsiab lus ntawm kev sib tshuam ntawm qhov sib npaug ntawm lub voj voog nrog kab ntawd.
Piv txwv lus nug 3: Txheeb xyuas qhov sib npaug ntawm kab tangent
Lo lus nug:
Muab ib lub voj voog uas muaj tus qauv \((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\). Txheeb xyuas tus qauv ntawm txoj kab tangent rau lub voj voog uas hla dhau qhov taw tes \((6, 7)\).
Kev Sib Tham:
Qhov tangent rau lub voj voog nrog qhov chaw nruab nrab \((h, k)\) thiab radius \(r\) los ntawm ib qho chaw sab nraud uas paub tuaj yeem pom los ntawm cov qauv:
Txoj kab tangent hla dhau qhov chaw sab nraud \((x_1, y_1)\):
\[
(x – 2)(x_1 – 2) + (y – 3)(y_1 – 3) = 20
\]
Hloov qhov chaw sab nraud \((6, 7)\):
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y - 20 = 20
\]
\[
4x + 4y - 20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
Cov kab zauv ntawm txoj kab tangent yog:
\[
x + y = 9
\]
Yog li, qhov kev hloov pauv ntawm qhov sib npaug ntawm txoj kab hla lub ntsiab lus ntawm txoj kab voj voog yog loj heev thiab tuaj yeem hloov pauv nyob ntawm qhov tshwm sim lossis kev sawv cev pom.
Xaus
Cov kev sib tham txog cov voj voog thiab cov tangents npog ntau yam tseem ceeb ntawm kev suav lej, los ntawm kev siv cov qauv yooj yim xws li Pythagorean theorem mus rau kev daws cov quadratic equations. Los ntawm cov piv txwv no, peb tuaj yeem tsim kev nkag siab zoo dua txog yuav ua li cas siv cov tswv yim no hauv qee qhov xwm txheej nyuaj. Vam tias, tsab xov xwm no tau pab muab ib daim duab meej ntawm yuav ua li cas los daws thiab daws cov teeb meem uas cuam tshuam nrog cov voj voog thiab tangents.
