संवेग, आवेग और प्रक्षेप्य गति – समस्याएं और समाधान

संवेग, आवेग और प्रक्षेप्य गति – समस्याएं और समाधान

1. नीचे दिए गए चित्र में दर्शाए अनुसार, 0.2 किलोग्राम की एक गेंद को छेद C में डाला जाएगा। बल्लेबाज गेंद को 0.01 सेकंड में मारता है और BC द्वारा तय की गई दूरी 1 सेकंड में पूरी हो जाती है। गेंद को छेद C में डालने के लिए आवश्यक बल का परिमाण ज्ञात कीजिए। गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 मीटर/सेकंड है².

ज्ञात :

कोण (θ) = 60^o

सामूहिक गेंद का आयतन (मीटर में) = 0.2 किलोग्राम

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²

समय अंतराल (Δt) = 0.01 सेकंड

पथ BC को तय करने में लगने वाला समय अंतराल (t) = 1 सेकंड

वांछित : बल (एफ)

समाधान:

समीकरण आवेग : I = F Δt

परिवर्तन का समीकरण गति : Δp = m (v_t - वी_o).

आवेग संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है। :

I = Δp

F Δt = m (v_t - वी_o)

एफ = एम (वी_t - वी_o) / Δt

ज्ञात :

Δt = 0.01 सेकंड

m = 0.2 किलो

v_t = आवेग-संवेग के समीकरण में अंतिम गति = गेंद की प्रारंभिक गति (v_o) प्रक्षेप्य गति में

v_o आवेग-संवेग के समीकरण में प्रारंभिक गति = 0 मीटर/सेकंड (प्रारंभ में गेंद स्थिर अवस्था में थी)

एफ = एम (वी_t - वी_o) / Δt

एफ = 0.2 (वी_t – 0) / 0.01

एफ = 0.2 वी_t / 0,01

निरंतर......

गेंद की प्रारंभिक गति ज्ञात कीजिए। (v_o) प्रक्षेप्य गति में

चूंकि गेंद को तब तक मारा जाता है जब तक कि गेंद बिंदु B तक नहीं पहुंच जाती = भाग 1 प्रक्षेप्य गति.

गेंद बिंदु B से C तक जाती है = प्रक्षेप्य गति का भाग 2।

प्रक्षेप्य गति का भाग 2:

प्रक्षेप्य गति को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों का अलग-अलग विश्लेषण करके समझा जा सकता है। x दिशा में गति स्थिर वेग से होती है और y दिशा में गति स्थिर गुरुत्वाकर्षण त्वरण से होती है।

ज्ञात :

क्षैतिज दूरी (x) = 5 मीटर

हवा में बिताया गया समय (t) = 1 सेकंड

x और t ज्ञात हैं, जिससे v_ox इसकी गणना समीकरण का उपयोग करके की जा सकती है। एकसमान रेखीय गति. वी_ox यह गेंद की प्रारंभिक गति का क्षैतिज घटक है।

v_ox = x / t = 5 मीटर / 1 सेकंड = 5 मीटर/सेकंड।

प्रक्षेप्य गति का भाग 1:

गति का क्षैतिज घटक, v_ox हमेशा एक जैसा होता है इसलिए v_ox प्रक्षेप्य गति के भाग 1 में = v_ox प्रक्षेप्य गति के भाग 2 में = 5 मीटर/सेकंड।

ज्ञात

v_ox = 5 मी/से

= 60^o

v_ox और θ ज्ञात हैं, इसलिए प्रारंभिक गति (v)_o) की गणना की जा सकती है।

cos θ = adj / hyp

cos θ = v_ox / वी_o

v_o = वी_ox / cos θ = 5 / cos 60^o = 5 / 0.5 = 10 मीटर/सेकंड

प्रारंभिक गति (v_o) 10 मीटर/सेकंड है।

गेंद की प्रारंभिक गति (v_o) प्रक्षेप्य गति में = गेंद की अंतिम गति (v_t) आवेग-संवेग के समीकरण में।

बल का परिमाण ज्ञात कीजिए। (एफ)

एफ = 0.2 वी_t / 0.01

एफ = 0.2 (10) / 0.01

एफ = 2 / 0.01

F = 200 न्यूटन

1. आवेग और संवेग में परिवर्तन के बीच क्या संबंध है?
   • उत्तर: आवेग बल और उस समय का गुणनफल होता है जिस दौरान वह कार्य करता है, और यह किसी वस्तु के संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है। गणितीय रूप से, $Impulse=\Delta p$, जहां $\Delta p$ यह संवेग में परिवर्तन है।
2. कार में क्रंपल ज़ोन जैसी स्थिति में, प्रभाव के समय में वृद्धि होने से टक्कर के दौरान लगने वाले बल पर क्या प्रभाव पड़ता है?
   • उत्तर: टक्कर का समय बढ़ाने से टक्कर के दौरान लगने वाला औसत बल कम हो जाता है। इसका कारण यह है कि किसी भी टक्कर के लिए आवेग (संवेग में परिवर्तन) स्थिर रहता है, और समय बढ़ाने से बल अधिक अवधि में फैल जाता है, जिससे औसत बल कम हो जाता है।
3. केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में गतिमान प्रक्षेप्य के लिए क्या स्थिर रहता है?
   • उत्तर: जब किसी प्रक्षेप्य पर केवल गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है, तो उसका क्षैतिज वेग स्थिर रहता है। हालांकि, गुरुत्वाकर्षण त्वरण के कारण उसका ऊर्ध्वाधर वेग बदल जाता है।
4. गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में किसी प्रक्षेप्य का पथ परवलयिक क्यों होता है?
   • उत्तर: यह पथ परवलयिक है क्योंकि क्षैतिज वेग स्थिर रहता है, जबकि गुरुत्वाकर्षण त्वरण के कारण ऊर्ध्वाधर वेग लगातार बदलता रहता है, जिससे क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर विस्थापन के बीच एक द्विघात संबंध बनता है।
5. यदि किसी पृथक प्रणाली पर कोई बाह्य बल कार्य न कर रहा हो तो उसके संवेग पर क्या प्रभाव पड़ता है?
   • उत्तर: यदि किसी पृथक प्रणाली पर कोई बाह्य बल कार्य न करे, तो उसका कुल संवेग संरक्षित रहता है। इसे संवेग संरक्षण कहते हैं।
6. जब बेसबॉल के बल्ले से गेंद को होम रन के लिए मारा जाता है और जब उसे हल्के से मारा जाता है, तो बल्ले द्वारा गेंद को दी गई गति में क्या अंतर होता है?
   • उत्तर: जब बेसबॉल को होम रन के लिए मारा जाता है तो उसे मिलने वाला आवेग, उसे हल्के से टैप करने की तुलना में अधिक होता है, क्योंकि होम रन की स्थिति में गेंद के संवेग में परिवर्तन (स्थिर अवस्था से बल्ले से उड़कर दूर जाने तक) बहुत अधिक होता है।
7. यदि किसी प्रक्षेप्य को जमीन से एक कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है और वह वापस जमीन पर लौटता है, तो उसके प्रक्षेपण और लैंडिंग गति की तुलना कैसे की जाएगी?
   • उत्तर: यदि वायु प्रतिरोध न हो, तो प्रक्षेप्य की उतरने की गति उसके प्रक्षेपण गति के बराबर होगी। यह ऊर्जा संरक्षण के नियम के कारण है।
8. वायु प्रतिरोध की अनुपस्थिति में, प्रक्षेप्य के प्रक्षेपण कोण और परास के बीच क्या संबंध होता है?
   • उत्तर: किसी दी गई प्रारंभिक गति के लिए, प्रक्षेप्य की अधिकतम दूरी 45 डिग्री के प्रक्षेपण कोण पर प्राप्त होती है। 45 डिग्री से कम या अधिक कोण पर प्रक्षेपण करने से दूरी कम हो जाएगी।
9. किसी वस्तु पर लगने वाले बल की अवधि बढ़ाने से, जैसे कि हाथ की हल्की सी हरकत से अंडे को पकड़ने से, वस्तु के टूटने या क्षतिग्रस्त होने की संभावना कम क्यों हो जाती है?

• उत्तर: किसी बल के कार्य करने की अवधि बढ़ाने से आवेग (संवेग में परिवर्तन) अधिक समय तक फैलता है, जिससे वस्तु पर लगने वाला औसत बल कम हो जाता है। हाथ की हल्की सी हरकत से अंडे को पकड़ने पर लगने वाला बल फैल जाता है, जिससे अंडे के टूटने की संभावना कम हो जाती है।