टक्कर और यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण – जांच और समाधान

टक्कर और यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण – जांच और समाधान

1. दो वस्तुओं का द्रव्यमान समान है , m ₁ = m ₂ = 0.5 kg, और इन्हें समान ऊँचाई से गिराया जाता है, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। वृत्त की त्रिज्या 1/5 मीटर है। दोनों वस्तुओं के बीच टक्कर पूर्णतः प्रत्यास्थ है। टक्कर के बाद प्रत्येक वस्तु का वेग ज्ञात कीजिए। गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 m/s² ^है ।

ज्ञात :

वस्तु का द्रव्यमान (m) = m₁ = एम₂ = 0.5 किलो

प्रारंभिक ऊँचाई (h ₁ ) = 1/5 मीटर

अंतिम ऊँचाई (h ₂ ) = 0 ( पथ का आधार )

वस्तु की प्रारंभिक गति (v ₁ ) = 0 ( वस्तु प्रारंभ में विराम अवस्था में थी )

वस्तु की अंतिम गति (v ₂ ) = …. ( पथ के आधार पर वस्तु की गति = टक्कर से पहले वस्तु की गति )

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²

आवश्यकता है: टक्कर के बाद प्रत्येक वस्तु की गति

समाधान:

टक्कर से पहले वस्तुओं की गति

टक्कर से पहले वस्तु की गति = पथ के आधार पर पहुँचने पर वस्तु की गति = वस्तु की अंतिम गति।

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा

गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा + गतिज ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा + गतिज ऊर्जा

mgh ₁ + 1/2 mv ₁ ² = mgh ₂ + 1/2 mv ₂ ²

mgh ₁ + 0 = 0 + 1/2 mv ₂ ²

mgh ₁ = 1/2 mv ₂ ²

gh ₁ = 1/2 v ₂ ²

2 gh ₁ = v ₂ ²

2(10)(1/5) = v ₂ ²

2(2) = v ₂ ²

4 = v ₂ ²

v ₂ = √4

v ₂ = 2 m/s

टक्कर से पहले प्रत्येक वस्तु की गति 2 मीटर/सेकंड है।

टक्कर के बाद वस्तुओं की गति

यदि दो वस्तुओं का द्रव्यमान समान हो और वे विपरीत दिशाओं में गति करें, तो टकराने पर दोनों वस्तुओं का वेग बदल जाता है। उदाहरण के लिए, यदि टक्कर से पहले वस्तु A की गति 2 मीटर/सेकंड और वस्तु B की गति -4 मीटर/सेकंड है, तो टक्कर के बाद वस्तु A की गति 4 मीटर/सेकंड और वस्तु B की गति -2 मीटर/सेकंड हो जाती है। माइनस और प्लस चिह्न यह दर्शाते हैं कि दोनों वस्तुओं की दिशाएँ भिन्न हैं।

2. वस्तु A का द्रव्यमान 2 किलोग्राम और वस्तु B का द्रव्यमान 3 किलोग्राम है। इन्हें नीचे दिए गए चित्र में दर्शाए अनुसार एक निश्चित ऊँचाई से गिराया जाता है। दोनों वस्तुएँ बिंदु C पर टकराती हैं। यह टक्कर पूर्णतः प्रत्यास्थ है। गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 मीटर/सेकंड² है ^। टक्कर के बाद वस्तु A और वस्तु B की गति ज्ञात कीजिए।

ज्ञात :

वस्तु A का द्रव्यमान (मील में)₁) = 2 किलो

वस्तु B का द्रव्यमान (m² ₎ = 3 kg

प्रारंभिक ऊँचाई (h ₁ ) = 5 मीटर

अंतिम ऊँचाई (h ₂ ) = 0 ( पथ का आधार )

वस्तु की प्रारंभिक गति (v ₁ ) = 0 ( आरंभ में वस्तु विराम अवस्था में थी )

वस्तु की अंतिम गति (v ₂ ) = …. ( पथ के आधार पर गति = टक्कर से पहले की गति )

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²

आवश्यकता है: टक्कर के बाद प्रत्येक वस्तु की गति

समाधान:

टक्कर से पहले वस्तुओं की गति

टक्कर से पहले वस्तु की गति = पथ के आधार पर वस्तु की गति

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा

गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा = गतिज ऊर्जा

mgh ₁ = 1/2 mv ₂ ²

gh ₁ = 1/2 v ₂ ²

2 gh ₁ = v ₂ ²

2(10)(5) = v ₂ ²

100 = v ₂ ²

v ₂ = √100

v ₂ = 10 m/s

टक्कर से पहले प्रत्येक वस्तु की गति = 10 मीटर/सेकंड।

टक्कर के बाद वस्तुओं की गति

दोनों वस्तुओं का द्रव्यमान अलग-अलग है और वे अलग-अलग दिशाओं में गति करती हैं, इसलिए टक्कर के बाद प्रत्येक वस्तु की गति की गणना इस समीकरण का उपयोग करके की जाती है।

टक्कर के ठीक बाद प्रत्येक वस्तु की गति:

1. प्रत्यास्थ और अप्रत्यास्थ टक्कर में क्या अंतर है?
   • उत्तर: प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा और संवेग दोनों संरक्षित रहते हैं। अप्रत्यास्थ टक्कर में संवेग तो संरक्षित रहता है, लेकिन गतिज ऊर्जा नहीं। पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में वस्तुएँ टक्कर के बाद आपस में चिपक जाती हैं।
2. किसी टक्कर में संवेग कैसे संरक्षित रहता है, चाहे वह प्रत्यास्थ हो या अप्रत्यास्थ?
   • उत्तर: न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, टक्कर में संवेग संरक्षित रहता है। यह नियम कहता है कि प्रत्येक क्रिया की एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है। टक्कर से पहले प्रणाली का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
3. किसी टक्कर में गतिज ऊर्जा हमेशा संरक्षित क्यों नहीं रहती?
   • उत्तर: अप्रत्यास्थ टक्करों में गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है क्योंकि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा का कुछ हिस्सा ध्वनि, ऊष्मा या वस्तुओं के विरूपण जैसी ऊर्जा के अन्य रूपों में परिवर्तित हो जाता है।
4. क्या किसी सिस्टम की कुल यांत्रिक ऊर्जा टक्कर के दौरान बदल सकती है? यदि हां, तो कैसे?
   • उत्तर: जी हां, अप्रत्यास्थ टक्कर के दौरान कुल यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन हो सकता है। हालांकि एक पृथक प्रणाली में कुल यांत्रिक ऊर्जा (गतिज और स्थितिज ऊर्जा) संरक्षित रहती है, लेकिन अप्रत्यास्थ टक्कर में कुछ गतिज ऊर्जा ऊष्मा या ध्वनि जैसे गैर-यांत्रिक रूपों में परिवर्तित हो सकती है।
5. किसी टक्कर से पहले और बाद में वस्तुओं का अवलोकन करके यह कैसे निर्धारित किया जा सकता है कि टक्कर प्रत्यास्थ है या अप्रत्यास्थ?
   • उत्तर: यदि वस्तुएँ एक दूसरे से टकराकर वापस उछलती हैं और टक्कर से पहले की कुल गतिज ऊर्जा टक्कर के बाद की कुल गतिज ऊर्जा के बराबर होती है, तो यह प्रत्यास्थ टक्कर होती है। यदि वस्तुएँ आपस में चिपक जाती हैं या कुल गतिज ऊर्जा घट जाती है, तो यह अप्रत्यास्थ टक्कर होती है।
6. टक्करों के विश्लेषण में प्रत्यास्थता गुणांक की क्या भूमिका है?
   • उत्तर: प्रत्यास्थता गुणांक (जिसे आमतौर पर दर्शाया जाता है) $e$यह इस बात का माप है कि टक्कर कितनी "उछालदार" है। इसे अलगाव की सापेक्ष गति को निकट आने की सापेक्ष गति से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है। पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर के लिए, $e=1$और पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए, $e=0$.
7. कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम टक्करों पर कैसे लागू होता है?
   • उत्तर: यदि किसी वस्तु पर कोई बाह्य बल नहीं लग रहा है, तो कोणीय संवेग संरक्षित रहता है। यह नियम वस्तुओं के घूमने और टकराने पर या बर्फ पर स्केटिंग करने वालों द्वारा तेज़ी से घूमने के लिए अपनी बाहों को अंदर खींचने जैसी स्थितियों पर लागू होता है।
8. वास्तविक दुनिया में होने वाली टक्करें अक्सर अप्रत्यास्थ क्यों प्रतीत होती हैं?
   • उत्तर: वास्तविक दुनिया में होने वाली टक्करों में आमतौर पर गतिज ऊर्जा का कुछ हिस्सा ध्वनि, ऊष्मा या विरूपण के रूप में नष्ट हो जाता है। ऊर्जा के इन रूपांतरणों के कारण अधिकांश वास्तविक दुनिया की टक्करें कुछ हद तक अप्रत्यास्थ होती हैं।
9. एक ही द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं के बीच एक आयामी प्रत्यास्थ टक्कर में, टक्कर के बाद उनके वेगों में क्या परिवर्तन होता है?
   • उत्तर: समान द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं के बीच एक आयामी प्रत्यास्थ टक्कर में, टक्कर के बाद उनके वेग आपस में बदल जाते हैं। वस्तु 1 की प्रारंभिक गति वस्तु 2 के वेग के बराबर हो जाती है, और इसके विपरीत भी।
10. क्या प्रत्यास्थ टक्कर में दो वस्तुएँ आपस में चिपक सकती हैं?

• उत्तर: नहीं, यदि दो वस्तुएँ आपस में चिपक जाती हैं, तो टक्कर पूरी तरह से अप्रत्यास्थ होती है। प्रत्यास्थ टक्कर में, वस्तुओं को एक दूसरे से वापस उछलना ही पड़ता है, और कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है।