घूर्णीय गतिशीलता

घूर्णी गतिकी यांत्रिकी की वह शाखा है जो बल, द्रव्यमान और घूर्णी गति को प्रभावित करने वाले अन्य कारकों से संबंधित घूर्णी गति का अध्ययन करती है। कोई वस्तु तब घूमती है जब उसके सभी भाग उसके किसी एक भाग पर स्थित अक्ष या धुरी के चारों ओर गति करते हैं। इस विषय में अध्ययन की जाने वाली घूर्णी गति एक स्थिर अक्ष के चारों ओर घूर्णी गति पर केंद्रित है। एक पुली, एक पंखा, सीडी/डीवीडी कक्ष में सीडी/डीवीडी की गति , एक दरवाजे या खिड़की की गति, एक इंजन सिलेंडर की गति, एक हेलीकॉप्टर या हवाई जहाज का प्रोपेलर, या एक जहाज का प्रोपेलर एक स्थिर अक्ष के चारों ओर घूर्णी गति के कुछ उदाहरण हैं। क्या आपने कभी लट्टू को घूमते हुए देखा है? लट्टू के अक्ष की स्थिति हमेशा बदलती रहती है (लट्टू का झुकाव बदलता रहता है), इसलिए इस विषय में लट्टू द्वारा अनुभव की जाने वाली घूर्णी गति का अध्ययन नहीं किया जाता है।

कण गतिकी में, स्थानान्तरण गति में किसी वस्तु को कण या एकल बिंदु माना जाता है। वस्तु चाहे कितनी भी बड़ी हो या उसका आकार कितना भी जटिल हो, उसे एकल बिंदु ही माना जाता है। घूर्णी गतिकी में, किसी वस्तु को एकल बिंदु नहीं माना जाता, बल्कि यह मानकर चला जाता है कि उसका आकार और माप अपरिवर्तित रहते हैं। यदि कण मानी जाने वाली वस्तु एक बिंदु से बनी होती है, तो कठोर पिंड मानी जाने वाली वस्तु अनेक कणों से बनी होती है, जहाँ प्रत्येक कण की स्थिति स्थिर रहती है और उनके बीच की दूरी भी समान रहती है।

समस्याओं का उदाहरण

1. चित्र में दिखाए अनुसार, ठोस पदार्थ से बनी एक पुली है जिसके बाहरी किनारे पर एक रस्सी लिपटी हुई है। पुली के घर्षण को नगण्य माना जाता है। यदि पुली का जड़त्व आघूर्ण I = β है और रस्सी को एक स्थिर बल F से खींचा जाता है, तो F का मान किसके बराबर होगा?

ए. एफ = α . β . आर
बी. एफ = α . β 2 . आर
C. F = α . (β . R)^-1
डी. एफ = α . β . (आर)^-1
E. F = R . (α . β)^-1

विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
खिंचाव बल = F
पुली का जड़त्व आघूर्ण = β
पुली का कोणीय त्वरण = α
पुली की त्रिज्या = R
प्रश्न: F का मान किसके समतुल्य है?
उत्तर :

घूर्णी गति के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का सूत्र:
पुली पर लगने वाले बल का परिणामी आघूर्ण:
सही उत्तर है डी.

2. एक छड़ जिसकी लंबाई 6 मीटर है और द्रव्यमान नगण्य है, पर चित्र में दर्शाए अनुसार तीन बल कार्य कर रहे हैं। जब छड़ अपने द्रव्यमान केंद्र O के चारों ओर घूमती है, तो उसके बल आघूर्ण का परिमाण क्या होगा?

ए. एफ.

बी. 3एफ

सी. 4एफ

डी. 5एफ

ई. 6एफ

विचार-विमर्श

ह ज्ञात है कि:

घूर्णन अक्ष बिंदु O पर स्थित है।

बल 1 (F ₁ ) = F

कार्य बिंदु F ₁ और घूर्णन अक्ष (r ₁ ) के बीच की दूरी = 3 मीटर

बल 2 (F ₂ ) = 2F

कार्य बिंदु F ₂ और घूर्णन अक्ष (r ₂ ) के बीच की दूरी = 2 मीटर

बल 3 (F ₃ ) = 2F

कार्य बिंदु F ₃ और घूर्णन अक्ष (r ₃ ) के बीच की दूरी = 3 मीटर

प्रश्न: जब छड़ अपने द्रव्यमान केंद्र O के चारों ओर घूमती है, तो उस पर लगने वाले बल के आघूर्ण का परिमाण ज्ञात कीजिए।

उत्तर :

बल आघूर्ण 1:

τ ₁ = F ₁ r ₁ = (F)(3) = -3F

बल आघूर्ण 1 छड़ को दक्षिणावर्त घुमाता है, जिससे बल आघूर्ण 1 का चिन्ह ऋणात्मक हो जाता है।

बल आघूर्ण 2:

τ ₂ = F ₂ r ₂ = (2F)(2) = 4F

बल आघूर्ण 2 के कारण छड़ वामावर्त दिशा में घूमती है, जिससे बल आघूर्ण 2 का चिन्ह धनात्मक होता है।

बल आघूर्ण 3:

τ ₃ = एफ ₃ आर ₃ पाप 30 ^ओ = (2एफ)(3)(0,5) = 3एफ

बल आघूर्ण 3 के कारण छड़ वामावर्त दिशा में घूमती है, जिससे बल आघूर्ण 3 का चिन्ह धनात्मक होता है।

परिणामी बल आघूर्ण:

Στ = τ ₁ + τ ₂ + τ ₃

Στ = -3F + 4F + 3F

Στ = 4F

बल आघूर्ण का परिमाण 4F न्यूटन मीटर है। धनात्मक बल आघूर्ण का अर्थ है कि छड़ वामावर्त दिशा में घूमती है।

सही जवाब सी है।

3. तस्वीर को देखिए!

यदि एसी छड़ के द्रव्यमान को नगण्य माना जाए, α = 30 ^° , लंबाई AB = BC = 1 मीटर, तो बिंदु A पर अक्ष के सापेक्ष सिस्टम का बल आघूर्ण क्या होगा?

एक 10√3 एनएम दक्षिणावर्त

B. 10 √3 एनएम वामावर्त

सी. 20 एनएम दक्षिणावर्त

डी. 20 √3 एनएम वामावर्त

ई. 20 √3 एनएम दक्षिणावर्त

विचार-विमर्श

ह ज्ञात है कि:

घूर्णन अक्ष बिंदु A पर स्थित है।

बल 1 (F ₁ ) = 10 N

कार्य बिंदु F ₁ और घूर्णन अक्ष (r ₁ ) के बीच की दूरी = 1 मीटर

बल 2 (F ₂ ) = 10 N

कार्य बिंदु F ₂ और घूर्णन अक्ष (r ₂ ) के बीच की दूरी = 1 मीटर

बल 3 (F ₃ ) = 20 N

कार्य बिंदु F ₃ और घूर्णन अक्ष (r ₃ ) के बीच की दूरी = 2 मीटर

प्रश्न: बिंदु A पर अक्ष के सापेक्ष प्रणाली का बल आघूर्ण ज्ञात कीजिए।

उत्तर :

बल आघूर्ण 1:

τ ₁ = F ₁ r ₁ sin 30 ^o = (10)(1)(0,5) = 5 न्यूटन मीटर

बल आघूर्ण 1 के कारण छड़ वामावर्त दिशा में घूमती है, जिससे बल आघूर्ण 1 का चिन्ह धनात्मक होता है।

बल आघूर्ण 2:

τ ₂ = F ₂ r ₂ sin 30 ^o = (10)(1)(0,5) = -5 न्यूटन मीटर

बल आघूर्ण 2 छड़ को दक्षिणावर्त घुमाता है, जिससे बल आघूर्ण 2 का चिन्ह ऋणात्मक हो जाता है।

बल आघूर्ण 3:

τ ₃ = F ₃ r ₃ sin 60 ^o = (20)(2)(0,5 √3 ) = -20 √3 न्यूटन मीटर

बल आघूर्ण 2 छड़ को दक्षिणावर्त घुमाता है, जिससे बल आघूर्ण 2 का चिन्ह ऋणात्मक हो जाता है।

परिणामी बल आघूर्ण:

Στ = τ ₁ + τ ₂ + τ ₃

Στ = 5 – 5 – 20 √3

Στ = – 20 √3 न्यूटन मीटर

बल आघूर्ण का परिमाण 20 √3 न्यूटन मीटर है । ऋणात्मक बल आघूर्ण का अर्थ है कि छड़ दक्षिणावर्त दिशा में घूमती है।

सही उत्तर E है।

4. बगल में दी गई तस्वीर को देखिए!

ठोस पदार्थ (I = 2/5 MR²) से बनी एक पुली ^का द्रव्यमान 2 kg है। यदि पुली पर बल का आघूर्ण 4 Nm है, तो पुली का रेखीय त्वरण क्या होगा? (g = 10 ^ms⁻² )

ए. 50 एमएस ^-2

बी. 25 एमएस ^-2

सी. 20 एमएस ^-2

डी. 16 एमएस ^-2

ई. 8 एमएस ^-2

विचार-विमर्श

ह ज्ञात है कि:

ठोस पुली का जड़त्व आघूर्ण (I) = 2/5 ^MR²

पुली का द्रव्यमान (M) = 2 kg

बल का आघूर्ण ( τ) = 4 एनएम

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 ^ms⁻²

पुली की त्रिज्या (R) = 20 सेमी = 0,2 मीटर

प्रश्न: रेखीय त्वरण (a)

उत्तर :

पुली का जड़त्व आघूर्ण (I) ज्ञात कीजिए:

I = 2/5 MR ² = 2/5 (2)(0,2) ² = 2/5 (2)(0,04) = 2/5 (0,08) = 0,16/5 = 0,032 kg m ²

कोणीय त्वरण ( α) की गणना कीजिए :

τ = I α

α = τ/I = 4/0,032 = 125 rad.s ^-2

रेखीय त्वरण (a) की गणना करें:

a = R α = (0,2)( 125) = 25 ms ^-2

पुली के किनारे का रेखीय त्वरण 25 ms⁻² है ^।

सही जवाब बी है।

5. बगल में दिए गए चित्र को देखिए! एक ठोस गेंद की पुली 2 ms⁻² के त्वरण से घूमती है ^। यदि g = 10 ms⁻² ^है , तो पुली का जड़त्व आघूर्ण क्या होगा?

ए. 1,0 किलोग्राम.मी²

बी. 0,8 किलोग्राम.मी ²

सी. 0,6 किलोग्राम.मी ²

डी. 0,2 किलोग्राम.मी ^.2

ई. 0,1 किलोग्राम.मी ²

विचार-विमर्श

ह ज्ञात है कि:

पुली के किनारे (a) का रेखीय त्वरण = 2 ^ms⁻²

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 ^ms⁻²

पुली की त्रिज्या (R) = 10 सेमी = 0,1 मीटर

भार (w) = मिलीग्राम = (4)(10) = 40 एन

प्रश्न: पुली का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए।

उत्तर :

बल के आघूर्ण ( τ) की गणना कीजिए:

τ = एफआर = डब्ल्यू आर = (40)(0,1) = 4 एनएम

पुली के कोणीय त्वरण ( α ) की गणना कीजिए:

a = R α

α = ए/आर = 2/0,1 = 20 रेड.एस ^-2

पुली का जड़त्व आघूर्ण (I) ज्ञात कीजिए:

τ = I α

मैं = τ/ α = 4/20 = 0,2 किग्रा मी ²

सही उत्तर है डी.

6. बगल में दी गई तस्वीर को देखें!

पुली को इस प्रकार खींचा जाता है कि वह 1 ms⁻² के त्वरण से गति करती है ^। यदि पुली की त्रिज्या 10 cm है, तो पुली का जड़त्व आघूर्ण क्या होगा?

ए. 4,00 किलोग्राम.मी²

बी. 2,00 किलोग्राम.मी ²

सी. 0,04 किलोग्राम.मी ²

डी. 0,02 किलोग्राम.मी ^.2

ई. 0,01 किलोग्राम.मी ²

विचार-विमर्श

ह ज्ञात है कि:

पुली के किनारे (a) का रेखीय त्वरण = ¹ ms⁻²

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 ^ms⁻²

पुली की त्रिज्या (R) = 10 सेमी = 0,1 मीटर

तन्य बल (F) = 4 N

प्रश्न: पुली का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए।

उत्तर :

बल के आघूर्ण ( τ) की गणना कीजिए:

τ = FR = (4)(0,1) = 0,4 एनएम

पुली के कोणीय त्वरण ( α ) की गणना कीजिए:

a = R α

α = ए/आर = 1/0,1 = 10 रेड.एस ^-2

पुली का जड़त्व आघूर्ण (I) ज्ञात कीजिए:

τ = I α

मैं = τ/ α = 0,4/10 = 0,04 किग्रा मी ²

सही जवाब सी है।

7. 1 किलोग्राम द्रव्यमान और 10 सेंटीमीटर त्रिज्या वाली एक ठोस डिस्क पुली के किनारे पर एक रस्सी लिपटी हुई है, और रस्सी के एक सिरे पर 1 किलोग्राम का भार लटका हुआ है। मान लीजिए कि रस्सी द्रव्यमान रहित है। भार की नीचे की ओर गति का त्वरण है… (g = 10 m/s²)²)
ए. 10 मीटर/सेकंड²
बी. 12 मीटर/सेकंड²
लगभग 15 मीटर/सेकंड²
डी. 20 मीटर/सेकंड²
पूर्व दिशा: 22 मीटर/सेकंड²बहस :
ह ज्ञात है कि:
F = w = mg = (1 kg)(10 m/s²) = 10 न्यूटन
r = 0,1 मीटर
पूछा गया:
भार की गति में त्वरण
उत्तर :
हितुंग निष्क्रियता के पल सज्जन स्टाइल का क्षण टेरलेबिह दाहुलु.

सही उत्तर है डी.

8. 2M द्रव्यमान और R त्रिज्या वाली एक ठोस डिस्क पुली को रस्सी से किनारे पर लपेटा गया है, और रस्सी के एक सिरे पर m द्रव्यमान का भार लटकाया गया है। भार छोड़ने पर, पुली कोणीय त्वरण से घूमती है। यदि पुली से M द्रव्यमान की कोई वस्तु जोड़ी जाती है, तो पुली को उसी कोणीय त्वरण से घुमाने के लिए, भार का द्रव्यमान इतना होना चाहिए... (पुली का द्रव्यमान = ½ mr)²).
ए. ¾ एम कि.जी.
बी. 3/2 एम किलो
सी. 2 एम.के.जी.
डी. 3 एम.के.जी.
ई. 4 एम.के.जी.

बहस :
ह ज्ञात है कि:
ठोस डिस्क पुली का द्रव्यमान: 2M
ठोस डिस्क पुली की त्रिज्या: R
भार का द्रव्यमान: मीटर
पूछा :
भार का द्रव्यमान?
उत्तर :

किसी ठोस डिस्क पुली पर द्रव्यमान M की वस्तु लगाने से पहले और बाद में उसके जड़त्व आघूर्ण की गणना कीजिए:
जड़त्व आघूर्ण 1 : I = ½ mr² = ½ (2M)(R)² = एमआर²
जड़त्व आघूर्ण 2 : I = ½ mr² = ½ (2M + M)(R)² = ½ (3M)(R)² = 1,5 एमआर²

प्रश्न का स्रोत:

सीनियर हाई स्कूल/व्यावसायिक हाई स्कूल के लिए राष्ट्रीय परीक्षा भौतिकी प्रश्न