कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली में त्रि-आयामी सदिशों के उदाहरण प्रश्न और चर्चा
त्रिविमीय सदिश गणित और भौतिकी में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, जिसका उपयोग अक्सर त्रिविमीय अंतरिक्ष में वस्तुओं या घटनाओं को दर्शाने के लिए किया जाता है। कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, इन सदिशों को तीन घटकों द्वारा दर्शाया जाता है, जिन्हें आमतौर पर \( (x, y, z) \) से दर्शाया जाता है। यह लेख कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में त्रिविमीय सदिशों से संबंधित कई उदाहरण समस्याओं और उनके समाधानों पर चर्चा करेगा।
त्रि-आयामी सदिशों को समझना
त्रिविमीय अंतरिक्ष में एक सदिश को \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ:
– \(A_x\) x-अक्ष के अनुदिश सदिश का घटक है।
– \(A_y\) y-अक्ष के अनुदिश सदिश घटक है।
– \(A_z\) z-अक्ष के अनुदिश सदिश घटक है।
Contoh Soal dan Pembahasan
प्रश्न 1: सदिश योग संक्रिया
दो सदिश दिए गए हैं, \(\mathbf{A} = (2, -3, 4)\) और \(\mathbf{B} = (-1, 5, 2)\)। इन दोनों सदिशों का योग ज्ञात कीजिए।
बहस:
दो सदिशों \(\mathbf{A}\) और \(\mathbf{B}\) का योग उनके संगत घटकों को जोड़कर किया जाता है। अतः, हमें प्राप्त होता है:
\[
\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y, A_z + B_z)
\]
दिए गए सदिश मानों को प्रतिस्थापित करें:
\[
\mathbf{C} = (2 + (-1), -3 + 5, 4 + 2) = (1, 2, 6)
\]
अतः, सदिश \(\mathbf{A}\) और \(\mathbf{B}\) को जोड़ने का परिणाम \(\mathbf{C} = (1, 2, 6)\) है।
प्रश्न 2: सदिश घटाव संक्रिया
दो सदिश दिए गए हैं, \(\mathbf{A} = (4, 1, -2)\) और \(\mathbf{B} = (5, -3, 6)\)। इन दोनों सदिशों का घटाव ज्ञात कीजिए, अर्थात् \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\)।
बहस:
दो सदिशों \(\mathbf{A}\) और \(\mathbf{B}\) को घटाने के लिए उनके संगत घटकों को घटाया जाता है। अतः, हमारे पास है:
\[
\mathbf{D} = \mathbf{A} - \mathbf{B} = (A_x - B_x, A_y - B_y, A_z - B_z)
\]
दिए गए सदिश मानों को प्रतिस्थापित करें:
\[
\mathbf{D} = (4 – 5, 1 – (-3), -2 – 6) = (-1, 4, -8)
\]
अतः, सदिश \(\mathbf{A}\) और \(\mathbf{B}\) को घटाने का परिणाम \(\mathbf{D} = (-1, 4, -8)\) है।
प्रश्न 3: अदिश गुणन संक्रिया
एक सदिश \(\mathbf{A} = (3, -2, 7)\) और एक अदिश \(k = 4\) दिया गया है। इन सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए।
बहस:
किसी अदिश राशि k को सदिश A से गुणा करने के लिए, सदिश के प्रत्येक घटक को उस अदिश राशि से गुणा किया जाता है। इस प्रकार, हमारे पास है:
\[
\mathbf{E} = k \cdot \mathbf{A} = k \cdot (A_x, A_y, A_z) = (k \cdot A_x, k \cdot A_y, k \cdot A_z)
\]
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें:
\[
\mathbf{E} = 4 \cdot (3, -2, 7) = (4 \cdot 3, 4 \cdot -2, 4 \cdot 7) = (12, -8, 28)
\]
अतः, अदिश \(k\) को सदिश \(\mathbf{A}\) से गुणा करने का परिणाम \(\mathbf{E} = (12, -8, 28)\) है।
प्रश्न 4: सदिश की लंबाई
सदिश \(\mathbf{A} = (1, 2, 2)\) की लंबाई (परिमाण) की गणना करें।
बहस:
किसी सदिश \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) की लंबाई या परिमाण की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
\[
|\mathbf{ए}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}
\]
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें:
\[
|\mathbf{ए}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
\]
अतः, सदिश \(\mathbf{A}\) की लंबाई 3 है।
प्रश्न 5: डॉट उत्पाद
दो सदिश दिए गए हैं, \(\mathbf{A} = (1, 0, -1)\) और \(\mathbf{B} = (2, 3, 4)\)। इन दोनों सदिशों का डॉट प्रोडक्ट ज्ञात कीजिए।
बहस:
दो सदिशों \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) और \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) का डॉट गुणनफल उनके संगत घटकों को गुणा करके और फिर उन्हें जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, हमें प्राप्त होता है:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z
\]
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (1 \cdot 2) + (0 \cdot 3) + (-1 \cdot 4) = 2 + 0 – 4 = -2
\]
अतः, सदिशों \(\mathbf{A}\) और \(\mathbf{B}\) का डॉट गुणनफल -2 है।
प्रश्न 6: क्रॉस प्रोडक्ट
दो सदिश दिए गए हैं, \(\mathbf{A} = (1, 2, 3)\) और \(\mathbf{B} = (4, 5, 6)\)। इन दोनों सदिशों का क्रॉस प्रोडक्ट ज्ञात कीजिए।
बहस:
दो सदिशों \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) और \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) का क्रॉस गुणनफल निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके किया जाता है:
\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( (A_y \cdot B_z – A_z \cdot B_y), (A_z \cdot B_x – A_x \cdot B_z), (A_x \cdot B_y – A_y \cdot B_x) \right)
\]
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें:
\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5), (3 \cdot 4 – 1 \cdot 6), (1 \cdot 5 – 2 \cdot 4) \right) = (12 – 15, 12 – 6, 5 – 8) = (-3, 6, -3)
\]
अतः, सदिशों \(\mathbf{A}\) और \(\mathbf{B}\) का क्रॉस गुणनफल \(\mathbf{A} \times \mathbf{B} = (-3, 6, -3)\) है।
निष्कर्ष
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में त्रि-आयामी सदिश विज्ञान और अभियांत्रिकी के विभिन्न क्षेत्रों में आवश्यक उपकरण हैं। ऊपर दिए गए उदाहरणों और चर्चाओं के माध्यम से हमने देखा है कि सदिशों पर विभिन्न बुनियादी संक्रियाएँ, जैसे जोड़, घटाव, अदिश गुणन, और डॉट व क्रॉस गुणनफल कैसे किए जाते हैं। इन अवधारणाओं की ठोस समझ न केवल गणित में बल्कि भौतिकी, अभियांत्रिकी और कंप्यूटर विज्ञान में व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए भी अमूल्य सिद्ध होगी।
