दो अनन्य घटनाओं A और B को जोड़ने के नियम पर चर्चा करने वाले उदाहरण प्रश्न
प्रायिकता सिद्धांत में, दो घटनाओं का योग नियम कई घटनाओं की प्रायिकता की गणना करने के लिए उपयोग किए जाने वाले मूलभूत सिद्धांतों में से एक है। इस अवधारणा का प्रयोग अक्सर विभिन्न स्थितियों में कुछ घटनाओं के संभावित परिणामों को समझने के लिए किया जाता है। इस लेख में, हम दो परस्पर अनन्य घटनाओं के योग नियम पर चर्चा करेंगे और इस अवधारणा को स्पष्ट करने के लिए उदाहरण प्रस्तुत करेंगे।
दो परस्पर अनन्य घटनाओं के योग का नियम
सबसे पहले, परस्पर अनन्य घटनाओं का अर्थ समझना महत्वपूर्ण है। दो घटनाओं को असंयुक्त या परस्पर अनन्य कहा जाता है यदि वे एक ही समय में घटित नहीं हो सकतीं। दूसरे शब्दों में, एक घटना के समुच्चय का कोई भी तत्व दूसरी घटना के समुच्चय का तत्व नहीं होता है।
प्रायिकता में योग नियम यह कहता है कि यदि दो घटनाएँ \(A\) और \(B\) परस्पर अनन्य हैं, तो किसी भी घटना \(A\) या \(B\) की प्रायिकता दोनों घटनाओं की प्रायिकताओं का योग होती है। गणितीय रूप से, इस नियम को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
[ P(A − B) = P(A) + P(B) ]
जहां \(P(A \cup B)\) घटना \(A\) या \(B\) की प्रायिकता है, \(P(A)\) घटना \(A\) की प्रायिकता है, और \(P(B)\) घटना \(B\) की प्रायिकता है।
उदाहरण चर्चा प्रश्न
दो परस्पर अनन्य घटनाओं को जोड़ने के नियम के अनुप्रयोग को स्पष्ट करने के लिए आइए कुछ उदाहरणों पर चर्चा करें।
उदाहरण प्रश्न 1
सवाल:
एक छह फलकों वाले पासे को एक बार उछाला जाता है। परिणामी संख्या 2 या 4 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
बहस:
हम घटना (A) को मान 2 की घटना के रूप में और घटना (B) को मान 4 की घटना के रूप में परिभाषित कर सकते हैं। इस प्रकार:
– \(P(A)\) 2 मान के प्रकट होने की प्रायिकता है।
– \(P(B)\) 4 मान के प्रकट होने की प्रायिकता है।
चूंकि एक पासे में छह समान रूप से संभावित पक्ष होते हैं, इसलिए किसी विशेष मान के आने की प्रायिकता \( \frac{1}{6} \) है। अतः:
[ P(A) = 1/6 ]
[ P(B) = 1/6 ]
घटनाएँ (A) और (B) परस्पर अनन्य हैं क्योंकि पासे को एक बार फेंकने पर 2 और 4 एक साथ नहीं आ सकते। इसलिए, दो परस्पर अनन्य घटनाओं के लिए योग नियम का उपयोग करते हुए:
[ P(A − B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 ]
इसलिए, संभावना है कि दिखाई देने वाला मान 2 या 4 है \( \frac{1}{3} \) या लगभग 33.33%.
उदाहरण प्रश्न 2
सवाल:
एक थैले में 10 गेंदें हैं जिनमें 4 लाल और 6 नीली गेंदें हैं। यदि हम यादृच्छिक रूप से एक गेंद चुनते हैं, तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि चुनी गई गेंद लाल या नीली होगी?
बहस:
हम घटना (A) को लाल गेंद लेने के रूप में और घटना (B) को नीली गेंद लेने के रूप में परिभाषित कर सकते हैं। इस प्रकार:
– \(P(A)\) लाल गेंद चुनने की प्रायिकता है।
– \(P(B)\) नीली गेंद चुनने की प्रायिकता है।
प्रत्येक घटना की प्रायिकता की गणना निम्नलिखित प्रकार से की जा सकती है:
[ P(A) = \frac{\text{लाल गेंदों की संख्या}}{\text{कुल गेंदों की संख्या}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
[ P(B) = नीली गेंदों की संख्या / गेंदों की कुल संख्या = 6/10 = 3/5 ]
घटनाएँ (A) और (B) परस्पर अनन्य हैं क्योंकि एक गेंद एक ही समय में लाल और नीली नहीं हो सकती। इसलिए, दो परस्पर अनन्य घटनाओं के लिए योग नियम का उपयोग करते हुए:
[ P(A √B) = P(A) + P(B) = 2/5 + 3/5 = 1 ]
इसलिए, निकाली गई गेंद के लाल या नीली होने की प्रायिकता 1 या 100% है। यह तर्कसंगत है क्योंकि थैले में सभी गेंदें या तो लाल हैं या नीली।
उदाहरण प्रश्न 3
सवाल:
20 छात्रों की एक कक्षा में, 7 छात्रों को गणित पसंद है, 5 छात्रों को विज्ञान पसंद है, और किसी को भी दोनों विषय पसंद नहीं हैं। यदि एक छात्र को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, तो इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उस छात्र को गणित या विज्ञान में से कोई एक विषय पसंद हो।
बहस:
हम घटना (A) को गणित पसंद करने के रूप में और घटना (B) को विज्ञान पसंद करने के रूप में परिभाषित कर सकते हैं। इस प्रकार:
– \(P(A)\) वह प्रायिकता है कि एक छात्र को गणित पसंद है।
– \(P(B)\) वह प्रायिकता है कि एक छात्र को विज्ञान पसंद है।
प्रत्येक घटना की प्रायिकता की गणना निम्नलिखित प्रकार से की जा सकती है:
[ P(A) = गणित पसंद करने वाले छात्रों की संख्या / कुल छात्रों की संख्या = 7/20 ]
[ P(B) = \frac{\text{विज्ञान पसंद करने वाले छात्रों की संख्या}}{\text{कुल छात्रों की संख्या}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
घटनाएँ (A) और (B) परस्पर अनन्य हैं क्योंकि कोई भी विद्यार्थी दोनों को पसंद नहीं करता है। अतः, दो परस्पर अनन्य घटनाओं के लिए योग नियम का प्रयोग करते हुए:
[ P(A − B) = P(A) + P(B) = 7/20 + 5/20 = 12/20 = 3/5 ]
इसलिए, इस बात की संभावना कि यादृच्छिक रूप से चयनित छात्र को गणित या विज्ञान पसंद है, \( \frac{3}{5} \) या 60% है।
निष्कर्ष
दो परस्पर अनन्य घटनाओं का योग नियम प्रायिकता सिद्धांत का एक मूलभूत सिद्धांत है जो संयुक्त घटना की प्रायिकता की गणना को सुगम बनाता है। ऊपर दिए गए उदाहरणों में हमने देखा है कि इस सिद्धांत को वास्तविक जीवन की स्थितियों में लागू किया जा सकता है, जैसे पासा फेंकना, थैले से गेंदें निकालना या कक्षा से विद्यार्थियों का चयन करना। इस सिद्धांत को समझकर और इसमें निपुणता प्राप्त करके हम रोजमर्रा की जिंदगी में विभिन्न परस्पर अनन्य घटनाओं की प्रायिकताओं की गणना अधिक प्रभावी ढंग से कर सकते हैं।
