कोणीय संवेग संबंधी समस्याओं के 7 उदाहरण
कोनेदार गति
1. किसी वस्तु में निष्क्रियता के पल 2 किलो मीटर2 और एक निश्चित अक्ष पर घूमता है कोणीय वेग 1 रेडियन/सेकंड। कितना? कोनेदार गति वह वस्तु?
विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
जड़त्व आघूर्ण (I) = 2 kg m2
कोणीय वेग (ω) = 1 रेडियन/सेकंड
पूछा गया: कोणीय संवेग (L)
उत्तर :
कोणीय संवेग का सूत्र:
L = I ω
विवरण: L = कोणीय संवेग (किलोग्राम मीटर)2/s), I = जड़त्व आघूर्ण (kg m²),2), ω = कोणीय वेग (rad/s)
कोनेदार गति:
L = I ω = (2)(1) = 2 kg m2/s
2. एक ठोस डिस्क पुली का द्रव्यमान 2 किलोग्राम और त्रिज्या 0,1 मीटर है। यदि पुली अपनी अक्ष पर 2 रेडियन/सेकंड के स्थिर कोणीय वेग से घूमती है, तो पुली का कोणीय संवेग क्या होगा?
विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
ठोस डिस्क पुली का द्रव्यमान (मीटर) = 2 किलोग्राम
ठोस डिस्क पुली की त्रिज्या (r) = 0.1 मीटर
कोणीय वेग (ω) = 2 रेडियन/सेकंड
पूछा गया: पुली का कोणीय संवेग
उत्तर :
चित्र में दर्शाए अनुसार अक्ष पर घूर्णन करने वाली ठोस डिस्क के जड़त्व आघूर्ण का सूत्र इस प्रकार है:
I = 1/2 mr2
विवरण: I = जड़त्व आघूर्ण (किलोग्राम मीटर)2), m = द्रव्यमान (किलोग्राम), r = त्रिज्या (मीटर)
ठोस डिस्क का जड़त्व आघूर्ण:
I = 1/2 (2)(0,1)2 = (1)(0,01) = 0,01 kg m2
कोनेदार गति:
L = I ω = (0,01)(2) = 0,02 kg m2/s
3. 2 किलोग्राम द्रव्यमान और 0,2 मीटर त्रिज्या वाली एक ठोस गेंद अपनी अक्ष के चारों ओर 4 रेडियन/सेकंड के कोणीय वेग से घूम रही है। ठोस गेंद का कोणीय संवेग ज्ञात कीजिए!
विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
ठोस गेंद का द्रव्यमान (मीटर) = 2 किलोग्राम
ठोस गोले की त्रिज्या (r) = 0,2 मीटर
कोणीय वेग (ω) = 4 रेडियन/सेकंड
पूछा गया: ठोस गोले का कोणीय संवेग
उत्तर :
चित्र में दर्शाए अनुसार अक्ष पर घूर्णन करने वाली ठोस गेंद के जड़त्व आघूर्ण का सूत्र इस प्रकार है:
मैं = (2/5) श्रीमान2
विवरण: I = जड़त्व आघूर्ण (किलोग्राम मीटर)2), m = द्रव्यमान (किलोग्राम), r = त्रिज्या (मीटर)
ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण:
I = (2/5)(2)(0,2)2 = (4/5)(0,04) = 0,032 kg मीटर2
ठोस गोले का कोणीय संवेग:
L = I ω = (0,032)(4) = 0,128 kg m2/s
4. 1 किलोग्राम द्रव्यमान वाली एक वस्तु 2 रेडियन/सेकंड के स्थिर कोणीय वेग से वृत्त में गति करती है। यदि कण के पथ की त्रिज्या 10 सेंटीमीटर है, तो कोणीय संवेग ज्ञात कीजिए।
विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
वस्तु का द्रव्यमान (मीटर) = 1 किलोग्राम
ठोस गोले की त्रिज्या (r) = 10 सेमी = 10/100 = 0,1 मीटर
कोणीय वेग (ω) = 2 रेडियन/सेकंड
पूछा गया: कोनेदार गति
उत्तर :
किसी कण के जड़त्व आघूर्ण का सूत्र:
मैं = श्रीमान2 = (1)(0,1)2 = (1)(0,01) = 0,01 kg m2
कोनेदार गति:
L = I ω = (0,01)(2) = 0,02 kg m2/s
कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम
5. एक समरूप ठोस बेलनाकार डिस्क प्रारंभ में अपनी अक्ष पर 5 रेडियन/सेकंड के कोणीय वेग से घूम रही है। डिस्क का तल क्षैतिज तल के समानांतर है। डिस्क का द्रव्यमान और त्रिज्या क्रमशः 2 किलोग्राम और 0,2 मीटर है। यदि 0,1 किलोग्राम द्रव्यमान और 0,2 मीटर त्रिज्या वाली एक वलय को डिस्क के ऊपर इस प्रकार रखा जाए कि वलय का केंद्र डिस्क के केंद्र के ठीक ऊपर हो, तो डिस्क और वलय एक साथ किस कोणीय वेग से घूमेंगे?
विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
ठोस सिलेंडर का द्रव्यमान (मी.)1) = 2 किलोग्राम
ठोस बेलन की त्रिज्या (r)1) = 0,2 मीटर
ठोस बेलन की कोणीय गति (ω)1) = 5 रेडियन/सेकंड
वलय का द्रव्यमान (मी)2) = 0,1 किलोग्राम
वलय की त्रिज्या (r)2) = 0,2 मीटर
पूछा गया: सिलेंडरों और छल्लों की कोणीय गति
उत्तर :
ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण: I = 1⁄2 मीटर1 r12 = 1⁄2 (2)(0,2)2 = (1)(0,04) = 0,04 kg m2
वलय का जड़त्व आघूर्ण: I = mr2 = (0,1)(0,2)2 = (0,1)(0,04) = 0,004 kg m2
ठोस सिलेंडर और रिंग का जड़त्व आघूर्ण (I) = 0,04 + 0,004 = 0,044 kg m2
प्रारंभिक कोणीय संवेग (L)1) = अंतिम कोणीय संवेग (L2)
I1 ω1 = I2 ω2
(0,04)(5) = (0,044)(ω2)
(0,2) = (0,044)(ω2)
ω2 = 0,2 : 0,044
ω2 = एक्सएनयूएमएक्स रेड / एस
6. एक बैले डांसर अपनी भुजाओं को 150 सेंटीमीटर की लंबाई तक फैलाकर 10 रेडियन/सेकंड के कोणीय वेग से घूमती है। फिर डांसर अपनी भुजाओं को कोहनी से मोड़कर 75 सेंटीमीटर की लंबाई तक ले आती है। उसका अंतिम कोणीय वेग क्या होगा?
विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
त्रिज्या 1 (r1) = 150 सेमी = 1,5 मीटर
त्रिज्या 2 (r2) = 75 सेमी = 0,75 मीटर
कोणीय वेग 1 (ω1) = 10 रेडियन/सेकंड
पूछा गया: कोणीय वेग 2 (ω2)
उत्तर :
प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण: I1 = श्रीमान12 = (मी)(1,5)2 = एक्सएनएनएक्स एम
अंतिम जड़त्व आघूर्ण: I2 = श्रीमान22 = (मी)(0,75)2 = एक्सएनएनएक्स एम
प्रारंभिक कोणीय संवेग (L)1) = अंतिम कोणीय संवेग (L2)
I1 ω1 = I2 ω2
(2,25 मीटर)(10) = (0,5625 मीटर)(ω2)
22,5 मीटर = (0,5625 मीटर)(ω2)
22,5 = (0,5625)(ω2)
ω2 = 22,5/0,5625
ω2 = एक्सएनयूएमएक्स रेड / एस
7. एक समरूप ठोस बेलनाकार डिस्क प्रारंभ में अपनी धुरी पर 4 रेडियन प्रति सेकंड की कोणीय गति से घूमती है।- 1डिस्क का द्रव्यमान और त्रिज्या क्रमशः 1 किलोग्राम और 0,5 मीटर है। यदि डिस्क के ऊपर एक वलय रखा जाए जिसका द्रव्यमान और त्रिज्या क्रमशः 0,2 किलोग्राम और 0,1 मीटर हो, और वलय का केंद्र ठोस बेलनाकार डिस्क के केंद्र के ठीक ऊपर हो, तो ठोस बेलनाकार डिस्क और वलय एक साथ कोणीय गति से घूमेंगे...
ए. 1 रेड/सेकंड
बी. 2 रेड/सेकंड
सी. 3 रेड/सेकंड
डी. 4 रेड/सेकंड
ई. 5 रेड/सेकंड
विचार-विमर्श :
निष्क्रियता के पल ठोस बेलन : I = ½ mr2 = ½ (1 कि.ग्रा.)(0,5 मीटर)2 = (0,5)(0,25) = 0,125 kg m2
वलय का जड़त्व आघूर्ण: I = mr2 = (0,2 कि.ग्रा.)(0,1 मीटर)2 = (0,2)(0,01) = 0,002 kg m2
प्रारंभिक कोणीय संवेग (L)1) = अंतिम कोणीय संवेग (L2)
I1 ω1 = I2 ω2
(0,125 किलोग्राम मीटर)2)(4 रेडियन/सेकंड) = (0,125 किलोग्राम मीटर2 + 0,002 kg m2)(ω2)
(0,5) = (0,127)(ω2)
ω2 = 0,5 : 0,127
ω2 = एक्सएनयूएमएक्स रेड / एस
सही उत्तर है डी.
