बल आघूर्ण का उदाहरण

बल आघूर्ण से संबंधित प्रश्नों के 10 उदाहरण

1. छड़ AB की लंबाई 2 मीटर है और बल F का परिमाण 10 न्यूटन है। ज्ञात कीजिए स्टाइल का क्षण बिंदु A की ओर और छड़ AB के घूर्णन की दिशा की ओर!
विचार-विमर्श
घूर्णन अक्ष बिंदु A पर स्थित है।

ह ज्ञात है कि:
बल (F) = 10 न्यूटन
दूरी AB (r_AB) = 2 मीटर
बल F 90 डिग्री का कोण बनाता है^o रॉड एबी के विरुद्ध।
बल भुजा (l) = r_AB पाप 90^o = (2 मीटर)(1) = 2 मीटर
पूछा गया: बिंदु A के सापेक्ष बल आघूर्ण और छड़ AB के घूर्णन की दिशा ज्ञात कीजिए।

उत्तर :
बल का क्षण:
τ = F l = (10 N)(2 m) = 20 न्यूटन मीटर
बल का आघूर्ण धनात्मक है क्योंकि बल F के कारण AB छड़ वामावर्त दिशा में घूमती है।

2. छड़ AB की लंबाई 2 मीटर है और बल F का परिमाण 10 न्यूटन है। बिंदु A के सापेक्ष बल का आघूर्ण और छड़ AB के घूर्णन की दिशा ज्ञात कीजिए!

विचार-विमर्श
घूर्णन अक्ष हैबिंदु A पर स्थित।

ह ज्ञात है कि:
बल (F) = 10 न्यूटन
दूरी AB (r_AB) = 2 मीटर
बल F 60 डिग्री का कोण बनाता है^o रॉड एबी के विरुद्ध।
बल भुजा (l) = r_AB पाप 60^o = (2 मीटर)(0,5√3) = √3 मीटर
पूछा गया: टोरसी बिंदु A और छड़ AB के घूर्णन की दिशा

उत्तर :
बल का क्षण:
τ = F l = (10 N)(√3 m) = 10√3 न्यूटन मीटर
बल का आघूर्ण धनात्मक है क्योंकि बल F के कारण AB छड़ वामावर्त दिशा में घूमती है।

3. छड़ AB की लंबाई 2 मीटर है, बल F का परिमाण क्या है?₁ बल F का परिमाण 10 न्यूटन है।₂ छड़ का बल 15 न्यूटन है। छड़ के मध्यबिंदु के सापेक्ष परिणामी बल आघूर्ण और उसकी दिशा ज्ञात कीजिए। ROTATION रॉड एबी!

विचार-विमर्श
घूर्णन अक्ष छड़ के केंद्र में स्थित है।
ह ज्ञात है कि:
शैली 1 (एफ₁) = 10 न्यूटन
दूरी F₁ और तने का केंद्र (r₁) = 1 मीटर
शैली एफ₁ 90 डिग्री का कोण बनाते हुए^o रॉड एबी के विरुद्ध
आर्म स्टाइल 1 (एल₁) = आर₁ पाप 90^o = (1 मीटर)(1) = 1 मीटर

शैली 2 (एफ₂) = 15 न्यूटन
दूरी F₂ और तने का केंद्र (r₂) = 1 मीटर
शैली एफ₂ 90 डिग्री का कोण बनाते हुए^o रॉड एबी के विरुद्ध
आर्म स्टाइल 2 (एल₂) = आर₂ पाप 90^o = (1 मीटर)(1) = 1 मीटर
पूछा गया: छड़ के केंद्र के सापेक्ष बल का परिणामी आघूर्ण और छड़ AB के घूर्णन की दिशा।
उत्तर :
बल आघूर्ण 1:
τ₁ = एफ₁ l₁ = (10 N)(1 m) = 10 न्यूटन मीटर
बल का आघूर्ण धनात्मक होता है क्योंकि बल F के कारण छड़ वामावर्त दिशा में घूमती है।

बल आघूर्ण 2:
τ₂ = एफ₂ l₂ = (15 N)(1 m) = -15 न्यूटन मीटर
बल का आघूर्ण ऋणात्मक होता है क्योंकि बल F₂ जिससे छड़ दक्षिणावर्त दिशा में घूमने लगती है।

परिणामी बल आघूर्ण:
Στ = τ₁ – τ₂ = 10 – 15 = – 5 न्यूटन मीटर
परिणामी बल का आघूर्ण ऋणात्मक होता है क्योंकि परिणामी बल F के कारण AB छड़ दक्षिणावर्त दिशा में घूमती है।

4. छड़ AB की लंबाई 2 मीटर है, बल F का परिमाण क्या है?₁ बल F का परिमाण 10 न्यूटन है।₂ छड़ का बल 10 न्यूटन है। छड़ के मध्यबिंदु के सापेक्ष परिणामी बल आघूर्ण और छड़ AB के घूर्णन की दिशा ज्ञात कीजिए!
विचार-विमर्श
घूर्णन अक्ष छड़ के केंद्र में स्थित है।
ह ज्ञात है कि:
शैली 1 (एफ₁) = 10 न्यूटन
दूरी F₁ और तने का केंद्र (r₁) = 1 मीटर
शैली एफ₁ 60 डिग्री का कोण बनाते हुए^o रॉड एबी के विरुद्ध
आर्म स्टाइल 1 (एल₁) = आर₁ पाप 60^o = (1 मीटर)(0,5√3) = 0,5√3 मीटर

शैली 2 (एफ₂) = 10 न्यूटन
दूरी F₂ और तने का केंद्र (r₂) = 1 मीटर
शैली एफ₂ 90 डिग्री का कोण बनाते हुए^o रॉड एबी के विरुद्ध
आर्म स्टाइल 2 (एल₂) = आर₂ पाप 90^o = (1 मीटर)(1) = 1 मीटर
पूछा गया: छड़ के मध्यबिंदु के सापेक्ष परिणामी बल आघूर्ण और छड़ AB के घूर्णन की दिशा ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
बल आघूर्ण 1:
τ₁ = एफ₁ l₁ = (10 N)(0,5√3 m) = 5√3 = 8,7 न्यूटन मीटर
बल का आघूर्ण धनात्मक है क्योंकि बल F1 के कारण छड़ वामावर्त दिशा में घूमती है।

बल आघूर्ण 2:
τ₂ = एफ₂ l₂ = (10 N)(1 m) = -10 न्यूटन मीटर
बल का आघूर्ण ऋणात्मक होता है क्योंकि बल F₂ जिससे छड़ दक्षिणावर्त दिशा में घूमने लगती है।

परिणामी बल आघूर्ण:
Στ = τ₁ – τ₂ = 8,7 – 10 = – 1,3 न्यूटन मीटर
परिणामी बल का आघूर्ण ऋणात्मक होता है क्योंकि परिणामी बल F के कारण AB छड़ दक्षिणावर्त दिशा में घूमती है।

5. छड़ AB की लंबाई 10 मीटर है, बल F का परिमाण क्या है?₁ यदि बल F का परिमाण 10 न्यूटन है, तो वह 10 न्यूटन होगा।₂ बल F का परिमाण 10 न्यूटन है।₃ बिंदु A और बिंदु C के बीच की दूरी 7,5 मीटर है। बल F का मान 15 न्यूटन है।₂ छड़ AB के मध्य में स्थित एक बिंदु B पर बल का परिणामी आघूर्ण ज्ञात कीजिए। बिंदु C बिंदु B से 2,5 मीटर की दूरी पर है। साथ ही, छड़ AB के घूर्णन की दिशा भी ज्ञात कीजिए।
विचार-विमर्श
घूर्णन अक्ष बिंदु C पर स्थित है, जो बिंदु B से 2,5 मीटर की दूरी पर है।
ह ज्ञात है कि:
शैली 1 (एफ₁) = 10 न्यूटन
दूरी F₁ और बिंदु C (r₁) = 2,5 मीटर
शैली एफ₁ 90 डिग्री का कोण बनाते हुए^o रॉड एबी के विरुद्ध
आर्म स्टाइल 1 (एल₁) = आर₁ पाप 90^o = (2,5 मीटर)(1) = 2,5 मीटर

शैली 2 (एफ₂) = 10 न्यूटन
दूरी F₂ और बिंदु C (r₂) = 2,5 मीटर
शैली एफ₂ 90 डिग्री का कोण बनाते हुए^o रॉड एबी के विरुद्ध
आर्म स्टाइल 2 (एल₂) = आर₂ पाप 90^o = (2,5 मीटर)(1) = 2,5 मीटर

शैली 3 (एफ₃) = 15 न्यूटन
दूरी F₃ और बिंदु C (r₃) = 7,5 मीटर
शैली एफ₃ 90 डिग्री का कोण बनाते हुए^o रॉड एबी के विरुद्ध
आर्म स्टाइल 3 (एल₃) = आर₃ पाप 90^o = (7,5 मीटर)(1) = 7,5 मीटर
पूछा गया: बिंदु C के सापेक्ष बल का परिणामी आघूर्ण और छड़ AB के घूर्णन की दिशा।
उत्तर :
बल आघूर्ण 1:
τ₁ = एफ₁ l₁ = (10 N)(2,5 m) = 25 न्यूटन मीटर
बल का आघूर्ण धनात्मक होता है क्योंकि बल F₁ जिससे छड़ वामावर्त दिशा में घूमने लगती है।

बल आघूर्ण 2:
τ₂ = एफ₂ l₂ = (10 N)(2,5 m) = 25 न्यूटन मीटर
बल का आघूर्ण धनात्मक होता है क्योंकि बल F₂ जिससे छड़ वामावर्त दिशा में घूमने लगती है।

बल आघूर्ण 3:
τ₃ = एफ₃ l₃ = (15 N)(7,5 m) = -112,5 न्यूटन मीटर
बल का आघूर्ण ऋणात्मक होता है क्योंकि बल F₃ जिससे छड़ दक्षिणावर्त दिशा में घूमने लगती है।

परिणामी बल आघूर्ण:
Στ = τ₁ + τ₂ – τ₃ = 25 + 25 – 112,5 = – 62,5 न्यूटन मीटर
परिणामी बल का आघूर्ण ऋणात्मक होता है क्योंकि परिणामी बल F के कारण AB छड़ दक्षिणावर्त दिशा में घूमती है।

6. छड़ AB की लंबाई 10 मीटर है, बल F का परिमाण क्या है?₁ यदि बल F का परिमाण 10 न्यूटन है, तो वह 10 न्यूटन होगा।₂ बल F का परिमाण 10 न्यूटन है।₃ बल F का बल 10 न्यूटन है। बल F के प्रभाव बिंदु से 5 मीटर की दूरी पर स्थित बिंदु A पर परिणामी बल आघूर्ण ज्ञात कीजिए।₁साथ ही, छड़ AB के घूर्णन की दिशा भी ज्ञात कीजिए।
विचार-विमर्श
घूर्णन अक्ष बिंदु A पर स्थित है।
ह ज्ञात है कि:
शैली 1 (एफ₁) = 10 न्यूटन
दूरी F₁ और बिंदु A (r₁) = 5 मीटर
शैली एफ₁ 60 डिग्री का कोण बनाते हुए^o रॉड एबी के विरुद्ध
आर्म स्टाइल 1 (एल₁) = आर₁ पाप 60^o = (5 मीटर)(0,5√3) = 2,5√3 मीटर

शैली 2 (एफ₂) = 10 न्यूटन
दूरी F₂ और बिंदु A (r₂) = 0
शैली एफ₂ 90 डिग्री का कोण बनाते हुए^o रॉड एबी के विरुद्ध
आर्म स्टाइल 2 (एल₂) = आर₂ पाप 90^o = (0)(1) = 0
शैली 3 (एफ₃) = 10 न्यूटन
दूरी F₃ और बिंदु A (r₃) = 10 मीटर
शैली एफ₃ 30 डिग्री का कोण बनाते हुए^o रॉड एबी के विरुद्ध
आर्म स्टाइल 3 (एल₃) = आर₃ पाप 30^o = (10 मीटर)(0,5) = 5 मीटर
पूछा गया: बिंदु A के सापेक्ष बल का परिणामी आघूर्ण और छड़ AB के घूर्णन की दिशा।
उत्तर :
बल आघूर्ण 1:
τ₁ = एफ₁ l₁ = (10 N)(2,5√3 m) = 25√3 = 43,3 न्यूटन मीटर
बल का आघूर्ण धनात्मक है क्योंकि बल F1 के कारण छड़ वामावर्त दिशा में घूमती है।

बल आघूर्ण 2:
τ₂ = एफ₂ l₂ = (10 N)(0) = 0
बल का आघूर्ण शून्य है क्योंकि बल F₂ घूर्णन अक्ष के साथ मेल खाता है

बल आघूर्ण 3:
τ₃ = एफ₃ l₃ = (10 N)(5 m) = -50 न्यूटन मीटर
बल का आघूर्ण ऋणात्मक होता है क्योंकि बल F₃ जिससे छड़ दक्षिणावर्त दिशा में घूमने लगती है।

परिणामी बल आघूर्ण:
Στ = τ₁ + τ₂ – τ₃ = 43,3 + 0 – 50 = – 6,7 न्यूटन मीटर
परिणामी बल का आघूर्ण ऋणात्मक होता है क्योंकि परिणामी बल F के कारण AB छड़ दक्षिणावर्त दिशा में घूमती है।

7. तीन बल F₁, एफ₂और एफ₃ निम्नलिखित चित्र में दिखाए अनुसार छड़ पर बल लगता है। यदि छड़ के द्रव्यमान को अनदेखा किया जाए और छड़ की लंबाई 4 मीटर हो, तो बिंदु C पर घूर्णन अक्ष के सापेक्ष बल आघूर्ण का मान क्या होगा? (sin 53)^o = 0,8, cos 53^o = 0,6, एबी = बीसी = सीडी = डीई = 1 मीटर)

ए. 12 एनएम
बी. 8 एनएम
सी. 6 एनएम
डी. 2 एनएम
ई. शून्य

विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
घूर्णन अक्ष बिंदु C पर स्थित है।
शैली 1 (एफ₁) = 5 न्यूटन
कार्य बिंदुओं के बीच की दूरी F₁ घूर्णन अक्ष के साथ (r₁) = 2 मीटर
शैली 2 (एफ₂) = 0,4 न्यूटन
कार्य बिंदु F2 और घूर्णन अक्ष (r) के बीच की दूरी₂) = 1 मीटर
शैली 3 (एफ₃) = 4,8 न्यूटन
कार्य बिंदुओं के बीच की दूरी F₃ घूर्णन अक्ष के साथ (r₃) = 2 मीटर
प्रश्न: बिंदु C पर घूर्णन अक्ष के सापेक्ष बल आघूर्ण का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर :

बल आघूर्ण 1:
बल आघूर्ण 1 के कारण छड़ वामावर्त दिशा में घूमती है, जिससे बल आघूर्ण 1 का चिन्ह धनात्मक होता है।
बल आघूर्ण 2:
बल आघूर्ण 2 छड़ को दक्षिणावर्त घूर्णन की दिशा में घुमाता है, जिससे बल आघूर्ण 2 का चिन्ह ऋणात्मक हो जाता है।
बल आघूर्ण 3:
बल आघूर्ण 3 छड़ को दक्षिणावर्त घूर्णन की दिशा में घुमाता है, जिससे बल आघूर्ण 3 का चिन्ह ऋणात्मक हो जाता है।

परिणामी बल आघूर्ण:
बल आघूर्ण का परिमाण 2 न्यूटन मीटर है। ऋणात्मक बल आघूर्ण का अर्थ है कि छड़ वामावर्त दिशा में घूमती है।
सही उत्तर है डी.

8. यदि छड़ के द्रव्यमान को अनदेखा किया जाए, तो बिंदु O पर अक्ष के सापेक्ष लगने वाले बलों के परिणामस्वरूप उत्पन्न बल आघूर्ण का परिमाण क्या होगा?

ए. 7,5 एनएम
बी. 4 एनएम
सी. 3,5 एनएम
डी. 3 एनएम
ई. 2 एनएम

विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
घूर्णन अक्ष बिंदु O पर स्थित है।
शैली 1 (एफ₁) = 6 न्यूटन
कार्य बिंदुओं के बीच की दूरी F₁ घूर्णन अक्ष के साथ (r₁) = 1 मीटर
शैली 2 (एफ₂) = 6 न्यूटन
कार्य बिंदु F2 और घूर्णन अक्ष (r) के बीच की दूरी₂) = 2 मीटर
शैली 3 (एफ₃) = 4 न्यूटन
कार्य बिंदुओं के बीच की दूरी F₃ घूर्णन अक्ष के साथ (r₃) = 2 मीटर
प्रश्न: बिंदु C पर घूर्णन अक्ष के सापेक्ष बल आघूर्ण का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
बल आघूर्ण 1:
बल आघूर्ण 1 के कारण छड़ वामावर्त दिशा में घूमती है, जिससे बल आघूर्ण 1 का चिन्ह धनात्मक होता है।
बल आघूर्ण 2:
बल आघूर्ण 2 के कारण छड़ वामावर्त दिशा में घूमती है, जिससे बल आघूर्ण 2 का चिन्ह धनात्मक होता है।
बल आघूर्ण 3:
बल आघूर्ण 3 छड़ को दक्षिणावर्त घूर्णन की दिशा में घुमाता है, जिससे बल आघूर्ण 3 का चिन्ह ऋणात्मक हो जाता है।

परिणामी बल आघूर्ण:
बल आघूर्ण का परिमाण 4 न्यूटन मीटर है। धनात्मक बल आघूर्ण का अर्थ है कि छड़ वामावर्त दिशा में घूमती है।
सही जवाब बी है।

9. एक छड़ 8 मीटर लंबी है। छड़ पर तीन बल कार्य करते हैं, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। छड़ को उसके केंद्र के चारों ओर घुमाने वाले बल के आघूर्ण का परिमाण क्या है?
ए. 10 एन मी
बी. 20 एन मी
सी. 30 एन मी
डी. 40 एन मीटर
ई. 50 एन मी

बहस :
छड़ का केंद्र बीच में स्थित है। छड़ की लंबाई 8 मीटर है, इसलिए छड़ का केंद्र उसके अंतिम छोर से 4 मीटर की दूरी पर है।
बल का आघूर्ण 1 = F₁ l₁ = (10 N)(4 m) = 40 N m
बल आघूर्ण 1 का मान धनात्मक है क्योंकि बल आघूर्ण 1 के कारण छड़ वामावर्त दिशा में घूमती है।
बल का आघूर्ण 2 = F₂ l₂ = (10 N)(2 m) = – 20 N m
बल आघूर्ण 2 का मान ऋणात्मक है क्योंकि बल आघूर्ण 2 छड़ को दक्षिणावर्त दिशा में घुमाता है।
बल का आघूर्ण 3 = F₃ l₃ = (15 N)(2 m) = – 30 N m
बल आघूर्ण 3 का मान ऋणात्मक है क्योंकि बल आघूर्ण 3 छड़ को दक्षिणावर्त दिशा में घुमाता है।

परिणामी बल आघूर्ण = 40 N m – 20 N m – 30 N m = – 10 N m

परिणामी बल आघूर्ण या परिणामी टॉर्क का मान ऋणात्मक है, यह दर्शाता है कि छड़ के घूर्णन की दिशा दक्षिणावर्त है।

सही जवाब क है।

10. बल F₁ = 10 एन, एफ₂ = 15 एन, एफ₃ = 15 एन और एफ₄ चित्र में दिखाए अनुसार छड़ ABCD पर 10 N का बल लग रहा है। छड़ ABCD की लंबाई 20 मीटर है। यदि छड़ के द्रव्यमान को अनदेखा किया जाए तो बिंदु D के सापेक्ष बल आघूर्ण का मान क्या होगा?
ए. 15 एनएम
बी. 18 एनएम
सी. 35 एनएम
डी. 63 एनएम
ई. 68 एनएम

बहस :
इस प्रश्न का उद्देश्य उस बल के परिणामी आघूर्ण का मान ज्ञात करना है जो छड़ को घुमाता है, जहाँ घूर्णन का केंद्र बिंदु D पर स्थित है।
बल का आघूर्ण 1 = F₁ l₁ = (10 N)(15 m) = 150 N m
बल आघूर्ण 1 का मान धनात्मक है क्योंकि बल आघूर्ण 1 के कारण छड़ वामावर्त दिशा में घूमती है।
बल का आघूर्ण 2 = F₂ l₂ = (15 N)(5 m) = -75 N m
बल आघूर्ण 2 का मान ऋणात्मक है क्योंकि बल आघूर्ण 2 छड़ को दक्षिणावर्त घूर्णन की दिशा में ही घुमाता है।
बल का आघूर्ण 3 = F₃ l₃ = (15 N)(0 m) = 0 N m

बल आघूर्ण 3 शून्य है क्योंकि F₃ घूर्णन अक्ष के साथ मेल खाता है।
बल का आघूर्ण 4 = F₄ l₄ = (10 N)(5 m) = 50 N m
बल आघूर्ण 4 का मान धनात्मक है क्योंकि बल आघूर्ण 4 छड़ को वामावर्त दिशा में घुमाता है।

परिणामी बल आघूर्ण = 150 N m – 75 N m + 50 N m = 125 N m
परिणामी बल आघूर्ण या परिणामी टॉर्क का मान धनात्मक होता है, इसलिए छड़ के घूर्णन की दिशा घड़ी की सुइयों के घूर्णन की दिशा के विपरीत होती है।