Nā Waiwai o nā Palena Hana
I ka makemakika, he manaʻo nui nā palena i hoʻohana pinepine ʻia i ka nānā ʻana a me ka helu helu. Kōkua ka palena o kahi hana i ka hoʻomaopopo ʻana i ke ʻano o kahi hana i kona hoʻokokoke ʻana i kahi waiwai. ʻAʻole wale kēia ʻike he mea kōkua i nā haʻawina kumumanaʻo akā he mau noi hana ākea hoʻi i ka ʻepekema a me ka ʻenekinia. Ma kēia ʻatikala, e kūkākūkā mākou i nā ʻano waiwai like ʻole o ka palena o kahi hana a me kona koʻikoʻi i kahi pōʻaiapili ākea.
Wehewehena o ka Palena
I nā huaʻōlelo maʻalahi, ʻo ka palena o kahi hana ka waiwai e hoʻokokoke aku ai ka hana i ka wā e hoʻokokoke aku ai ke loli hoʻokomo i kahi kiko. Inā kākau mākou i ka palena o ka hana \( f(x) \) e like me \( x \) e hoʻokokoke aku ai \( a \) e like me \( L \), a laila kākau mākou:
\[ \lim_{x \to a} f(x) = L. \]
ʻO ke ʻano kēia, ʻo ka kokoke ʻana o \( x \) i \( a \), ʻo ka kokoke ʻana aku nō hoʻi o ka waiwai o \( f(x) \) i \( L \).
Nā Waiwai Kumu o nā Palena
Eia nā ʻano kumu o nā palena i hoʻohana pinepine ʻia i ka makemakika:
1. Palena Mau:
\[ \lim_{x \to a} c = c, \]
kahi ʻo \( c \) he mea mau. ʻO ia hoʻi, ʻo ka palena o kahi mea mau ka waiwai o ke mea mau ponoʻī.
2. Nā Palena ʻIke:
\[ \lim_{x \to a} x = a. \]
ʻO ka palena o ka loli ʻike \( x \) i ka wā e hoʻokokoke aku ai ʻo \( x \) iā \( a \) ʻo \( a \).
3. Palena o ka Hoʻohui:
Inā \( \lim_{x \to a} f(x) = L \) a me \( \lim_{x \to a} g(x) = M \), a laila
\[ \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M. \]
ʻO ia hoʻi, ʻo ka palena o ka huina o nā hana ʻelua ka huina o nā palena o kēlā mau hana.
4. Palena Hoʻemi:
\[ \lim_{x \to a} [f(x) – g(x)] = L – M. \]
ʻO ka palena o ka unuhi ʻana o nā hana ʻelua ʻo ia ka unuhi ʻana o nā palena o kēlā mau hana.
5. Palena Hoʻonui:
\[ \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M. \]
ʻO ka palena o ka huahana o nā hana ʻelua ka huahana o nā palena o kēlā mau hana.
6. Palena Hoʻolaha:
Inā \( M \neq 0 \), a laila
\[ \lim_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{L}{M}. \]
ʻO ka palena o ka mahele ʻana o nā hana ʻelua, ʻo ia ka mahele ʻana o nā palena o kēlā mau hana.
7. Palena Kūlana:
No nā mana helu piha maikaʻi \( n \),
\[ \lim_{x \to a} [f(x)]^n = [ \lim_{x \to a} f(x) ]^n. \]
ʻO ke ʻano kēia hiki iā mākou ke hoʻoneʻe i ka hana exponentiation mai ke kaʻina hana palena.
Nā Waiwai Kūikawā
Ma waho aʻe o nā waiwai kumu i luna, aia kekahi mau waiwai kūikawā e hilinaʻi ana i kekahi mau kūlana:
1. Palena Hana Hui Pū ʻIa:
Inā \( \lim_{x \to a} g(x) = b \) a me \( \lim_{x \to b} f(y) = L \), kahi \( y = g(x) \), a laila
\[ \lim_{x \to a} f(g(x)) = L. \]
I kēia hihia, loiloi mākou i ka palena o kahi hana hui pū ʻia ma ka loiloi ʻana i ka palena o ka hana o loko ma mua, a laila ka hana o waho.
2. Palena Pau ʻole:
Inā e nui aʻe ka waiwai o \( f(x) \) i ka wā e hoʻokokoke aku ai ʻo \( x \) iā \( a \), a laila kākau mākou:
\[ \lim_{x \to a} f(x) = \infty. \]
Hōʻike kēia i ka ulu ʻana o ka hana me ke kaupalena ʻole ʻia i kona hoʻokokoke ʻana aku i kahi kiko.
Palena ʻaoʻao
ʻAʻohe kūkākūkā piha o nā palena me ka noʻonoʻo ʻole ʻana i nā palena ʻaoʻao, ʻo ia hoʻi nā palena ma ka ʻaoʻao hema (palena hema) a me ka ʻaoʻao ʻākau (palena ʻākau):
1. Palena mai ka hema:
\[ \lim_{x \to a^-} f(x) = L, \]
kahi e hoʻokokoke aku ai ʻo \( x \) iā \( a \) mai kahi waiwai liʻiliʻi, a i ʻole ma ka hema.
2. Palena mai ka ʻĀkau:
\[ \lim_{x \to a^+} f(x) = L, \]
kahi e hoʻokokoke aku ai ʻo \( x \) iā \( a \) mai kahi waiwai nui aʻe, a i ʻole i ka ʻākau.
Loaʻa kahi palena \( \lim_{x \to a} f(x) \) inā like nā palena mai ka hema a me ka ʻākau.
Nā Hoʻohana Honua Maoli o nā Palena
He manaʻo koʻikoʻi ka palena i hoʻohana ʻia ma nā ʻano like ʻole o ke ola maoli, e like me:
1. Ke Kino:
I ke ʻano physics, hoʻohana ʻia nā palena e wehewehe i nā manaʻo e like me ka wikiwiki koke a me ka hoʻolalelale. No ka laʻana, ʻo ka wikiwiki koke ka palena o ka wikiwiki awelika i ka wā e hoʻokokoke aku ai ka manawa manawa i ka ʻole.
2. Hoʻokele waiwai:
Hoʻohana ʻia nā palena i ka hoʻokele waiwai e helu ai i ka helu loli palena, e like me ka pōmaikaʻi palena a i ʻole ke kumukūʻai palena i ka wā e hoʻokokoke aku ai ka nui o ka hana i kahi waiwai.
3. ʻAno hana:
I ke ʻenekinia, hoʻohana ʻia nā palena no ka nānā ʻana i ke kūpaʻa, ka hoʻomalu ʻōnaehana, a me ke kumu hoʻohālike ʻana i nā ʻōnaehana hoʻololi paʻakikī.
Ka hopena
He manaʻo koʻikoʻi nā palena i ka calculus a me ka loiloi makemakika e kōkua iā mākou e hoʻomaopopo i ke ʻano o nā hana i ko lākou hoʻokokoke ʻana i kekahi mau waiwai. He mea pono loa nā waiwai o nā palena no ka hoʻomaʻalahi ʻana i nā helu a me ka loiloi hou aʻe ma nā ʻano ʻepekema like ʻole a me ka ʻenekinia. ʻO ka hoʻomaopopo ʻana i nā waiwai like ʻole o nā palena e hāʻawi iā mākou i kahi mea hana ikaika no ka ʻimi ʻana a me ke kumu hoʻohālike i nā hanana paʻakikī i ke ao maoli.
