Nā Hana ma nā Helu Paʻakikī
He manaʻo makemakika nā helu paʻakikī e hoʻohui i nā helu maoli a me nā helu hoʻokalakupua. He mea nui lākou i nā lālā he nui o ka ʻepekema, me ke kino, ka ʻenekinia, a me ka makemakika ponoʻī. Ma kēia ʻatikala, e ʻimi mākou i nā hana like ʻole e hiki ke hana ʻia ma nā helu paʻakikī, me ka hoʻohui, ka hoʻemi, ka hoʻonui, ka mahele, a me nā mea hou aku.
Ke Hoʻomaopopo ʻana i nā Helu Paʻakikī
Hiki ke kākau ʻia kēlā me kēia helu paʻakikī ma ke ʻano \(a+bi\), kahi ʻo \(a\) a me \(b\) he mau helu maoli a ʻo \(i\) he anakahi hoʻokalakupua e hoʻokō ana iā \(i^2 = -1\). Ua kapa ʻia ka huaʻōlelo \(a\) ʻo ka ʻāpana maoli, ʻoiai ʻo \(b\) ka ʻāpana hoʻokalakupua o ka helu paʻakikī. No ka laʻana, ʻo \(3 + 4i\) he helu paʻakikī me ka ʻāpana maoli 3 a me ka ʻāpana hoʻokalakupua 4.
Ma ke ʻano he hoʻohālikelike kumu, loaʻa iā mākou:
\[ i^2 = -1 \]
ʻO ia hoʻi, ʻo \(i\) ke kumu huinaha o -1.
Hoʻohui a me ka Hoʻemi
Hana ʻia ka hoʻohui a me ka unuhi ʻana o nā helu paʻakikī ma ka hoʻohui a me ka unuhi ʻana i nā ʻāpana maoli a me nā ʻāpana hoʻokalakupua. Manaʻo mākou he ʻelua mau helu paʻakikī \( z_1 = a + bi \) a me \( z_2 = c + di \), a laila:
\[ z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \]
\[ z_1 – z_2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i \]
laʻana:
Eia naʻe, ʻo \( z_1 = 3 + 4i \) a me \( z_2 = 1 + 2i \), a laila:
\[ z_1 + z_2 = (3+1) + (4+2)i = 4 + 6i \]
\[ z_1 – z_2 = (3-1) + (4-2)i = 2 + 2i \]
Hoʻonui
Hoʻohana ka hoʻonui ʻana o nā helu paʻakikī i nā distributives e like me ka algebra akā e noʻonoʻo ana i ka \( i^2 = -1 \). Manaʻo ʻia \( z_1 = a + bi \) a me \( z_2 = c + di \), a laila:
\[ z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 \]
\[ = ac + adi + bci + bd(-1) \]
\[ = ac + adi + bci – bd \]
\[ = (ac – bd) + (ad + bc)i \]
laʻana:
Eia naʻe, ʻo \( z_1 = 3 + 4i \) a me \( z_2 = 1 + 2i \), a laila:
\[ z_1 \cdot z_2 = (3 + 4i)(1 + 2i) \]
\[ = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2i + 4i \cdot 1 + 4i \cdot 2i \]
\[ = 3 + 6i + 4i + 8i^2 \]
\[ = 3 + 10i + 8(-1) \]
\[ = 3 + 10i – 8 \]
\[ = -5 + 10i \]
Hoʻolaha
Hana ʻia ka mahele ʻana o nā helu paʻakikī ma ka hoʻonui ʻana i ka numerator a me ka denominator e ka conjugate o ka denominator. ʻO ka conjugate o ka helu paʻakikī \( z = a + bi \) ʻo \( \overline{z} = a – bi \).
Manaʻo ʻia \( z_1 = a + bi \) a me \( z_2 = c + di \), a laila:
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} \]
Hoʻonui ʻia e ka hui o ka denominator:
\[ = \frac{(a + bi)(c – di)}{(c + di)(c – di)} \]
\[ = \frac{(ac + bd) + (bc – ad)i}{c^2 + d^2} \]
laʻana:
Eia naʻe, ʻo \( z_1 = 3 + 4i \) a me \( z_2 = 1 + 2i \), a laila:
Hoʻohui \( z_2 = 1 – 2i \).
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 4i}{1 + 2i} \cdot \frac{1 – 2i}{1 – 2i} \]
\[ = \frac{(3 + 4i)(1 – 2i)}{(1 + 2i)(1 – 2i)} \]
\[ = \frac{3 – 6i + 4i – 8i^2}{1 – 4i^2} \]
Ua ʻike ʻia \( i^2 = -1 \):
\[ = \frac{3 – 6i + 4i + 8}{1 + 4} \]
\[ = \frac{11 – 2i}{5} \]
\[ = \frac{11}{5} – \frac{2i}{5} \]
\[ = 2.2 – 0.4i \]
Modulus a me nā hoʻopaʻapaʻa
ʻO ka modulus o kahi helu paʻakikī ka mamao mai ke kumu ma ka mokulele paʻakikī a i ke kiko i hōʻike ʻia e ka helu paʻakikī. Ua hōʻike ʻia ka modulus o kahi helu paʻakikī \( z = a + bi \) ma ke ʻano he \( |z| \) a ua helu ʻia e:
\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
laʻana:
Inā \( z = 3 + 4i \), a laila:
\[ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
ʻO ka hoʻopaʻapaʻa o kahi helu paʻakikī ke kihi i hoʻokumu ʻia e ka helu paʻakikī me ke axis maoli ma ka mokulele paʻakikī a hōʻike pinepine ʻia ma nā radians a i ʻole nā degere.
ʻAno Polar
Hiki ke hōʻike ʻia nā helu paʻakikī ma ke ʻano polar. Hoʻomaʻalahi pinepine kēia ʻano i nā helu e pili ana i nā mana a me nā aʻa o nā helu paʻakikī. Hiki ke hōʻike ʻia kahi helu paʻakikī penei:
\[ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \]
kahi ʻo \( r \) ka modulus a ʻo \( \theta \) ka hoʻopaʻapaʻa o ka helu paʻakikī.
Nā Mea Hana Paʻakikī ʻē aʻe: Exponential a me Logarithmic
Hiki ke hoʻololi i nā helu paʻakikī i ke ʻano exponential me ka hoʻohana ʻana i ke ʻano hana a Euler:
\[ z = re^{i\theta} \]
kahi ʻo \( e \) ke kumu o ka logarithm kūlohelohe, a ʻo \( \theta \) ka hoʻopaʻapaʻa o \( z \).
He mea pono loa ka exponentiation o nā helu paʻakikī i nā hana he nui, ʻoiai hoʻi i ka loiloi Fourier a me nā hoʻololi Laplace.
Ka hopena
He mea hana koʻikoʻi nā helu paʻakikī i mea pono loa i ka hoʻoponopono ʻana i nā pilikia like ʻole i ka makemakika a me ka ʻepekema. ʻO ka hoʻokele ʻana i nā hana maʻamau e like me ka hoʻohui, ka hoʻemi, ka hoʻonui, a me ka mahele ʻana he hana mua ia. Eia kekahi, ʻo ka hoʻomaopopo ʻana i nā manaʻo o ka modulus, ka hoʻopaʻapaʻa, a me ka hoʻololi ʻana i nā ʻano polar a me ka exponential e hoʻonui i ko mākou hiki ke ʻimi i nā noi o nā helu paʻakikī i nā ʻano like ʻole.
Ma ka hoʻomaopopo ʻana a me ka hoʻopili ʻana i nā helu paʻakikī, hiki iā mākou ke hoʻoponopono i nā pilikia i paʻakikī a hiki ʻole paha ke hoʻoponopono me ka hoʻohana ʻana i nā helu maoli wale nō. Ma ke ʻano he mea hana loiloi ikaika, ʻo nā helu paʻakikī ke lilo nei i ʻāpana koʻikoʻi o ka makemakika a me nā noi ʻepekema a hiki i kēia lā.
