Ke ʻAno Hoʻopau Gaussian: He Hoʻolauna Hohonu
ʻO ke ʻano hoʻopau Gaussian kekahi o nā ʻano hana koʻikoʻi a hoʻohana nui ʻia i ka algebra linear no ka hoʻoponopono ʻana i nā ʻōnaehana o nā kaulike linear. Ua kapa ʻia ʻo ia ma hope o ka makemakika nui ʻo Carl Friedrich Gauss, nāna i hāʻawi nui i nā lālā he nui o ka makemakika. Ma kēia ʻatikala, e ʻimi mākou i nā manaʻo kumu, nā kaʻina hana, a me nā hiʻohiʻona noi o ke ʻano hoʻopau Gaussian.
Moʻolelo a me ke Kaʻina Hana
ʻO Carl Friedrich Gauss, ka mea i noho i ka hopena o ke kenekulia 18 a me ka hoʻomaka ʻana o ke kenekulia 19, ua manaʻo ʻia ʻo ia kekahi o nā mea makemakika nui loa o nā manawa āpau. ʻO ke ʻano hoʻopau i ʻike ʻia i kona inoa i kēia manawa ua ola ma mua loa o ka hānau ʻana o Gauss, akā ʻo kāna hāʻawi nui loa ʻana i ka hoʻomaʻemaʻe ʻana a me ka hoʻolaha ʻana iā ia.
Ke Koʻikoʻi o ke ʻAno Hoʻopau Gaussian
I ka makemakika a me ka ʻepekema kamepiula, he pilikia maʻamau ka hoʻoponopono ʻana i nā ʻōnaehana o nā kaulike linear. Loaʻa i kahi ʻōnaehana o nā kaulike linear ke ʻano maʻamau:
\[
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + … + a_{1n}x_n = b_1
\]
\[
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + … + a_{2n}x_n = b_2
\]
\[
...
\]
\[
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + … + a_{mn}x_n = b_m
\]
ʻO ke kumu o ke ʻano hoʻopau Gaussian e hoʻololi i kēia ʻōnaehana i kahi ʻano maʻalahi i hiki ke hoʻoponopono maʻalahi ʻia me ka hoʻohana ʻana i ka hoʻololi hope.
Kaʻina Hana Hoʻopau Gaussian
Nā ʻanuʻu kumu
ʻO ke kaʻina hana hoʻopau Gaussian e komo pū ana me ʻelua mau pae nui: ka hoʻopau ʻana i mua a me ka hoʻololi ʻana i hope.
1. Hoʻopau i mua
ʻO ka pahuhopu o kēia hana, ʻo ia ke hoʻololi i ka ʻōnaehana o nā kaulike i loko o kahi matrix triangular luna. Hoʻokō ʻia kēia ma ka hana ʻana i nā hana lālani mua, e komo pū ana me:
– Hoʻololi ʻelua laina.
– E hoʻonui i kahi lālani me kahi helu ʻaʻole zero.
- Hoʻohui a unuhi paha i nā huahelu he nui mai kekahi lālani a i kekahi.
Manaʻo mākou he ʻōnaehana o nā kaulike linear ma ke ʻano matrix \(Ax = b\), kahi ʻo \(A\) ka matrix coefficient, ʻo \(x\) ka vector variable, a ʻo \(b\) ka vector constant. ʻO nā ʻanuʻu i ka hoʻopau ʻana i mua:
1. E koho i kahi mea pivot, e hoʻomaka pinepine ana mai \(a_{11}\).
2. E hoʻohana i ka element pivot e holoi (hana i ka zero) i ka element ma lalo ona ma ke kolamu like.
3. E hana hou i kēia kaʻina hana no ka mea pivot e hiki mai ana ma lalo o ka lālani diagonal.
Eia kekahi laʻana, e nānā kākou i kahi ʻōnaehana me ʻekolu mau kaulike:
\[
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1
\]
\[
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2
\]
\[
a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3
\]
Hoʻomaka mākou me ka pivot \(a_{11}\), hana i nā hana e wehe iā \(a_{21}\) a me \(a_{31}\).
2. Hoʻololi hope
Ma hope o ka hoʻopau ʻana i mua, loaʻa iā mākou kahi ʻōnaehana o nā kaulike i hōʻike ʻia e ka matrix luna. Eia kekahi laʻana:
\[
u_{11}x_1 + u_{12}x_2 + u_{13}x_3 = d_1
\]
\[
u_{22}x_2 + u_{23}x_3 = d_2
\]
\[
u_{33}x_3 = d_3
\]
I kēia pae, hana ʻia ke pani hope mai lalo a luna:
1. No \(x_3\): \(x_3 = d_3 / u_{33}\).
2. No \(x_2\): \(x_2 = (d_2 – u_{23}x_3) / u_{22}\).
3. No \(x_1\): \(x_1 = (d_1 – u_{12}x_2 – u_{13}x_3) / u_{11}\).
Nā Laʻana Noi
I mea e hoʻomālamalama ai i ka wehewehe ʻana ma luna nei, e lawe kākou i kahi laʻana paʻa.
Manaʻo mākou he ʻōnaehana hoʻohālikelike linear kēia:
\[
2x + 3y + z = 1
\]
\[
4x + y – 2z = -2
\]
\[
3x + 2y + 3z = 7
\]
I kākau ʻia ma ke ʻano matrix:
\[
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 \\
4 & 1 & -2 \\
3 & 2 & 3 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
-2 \\
7 \\
\end{pmatrix}
\]
1. Hoʻopau i mua:
– Koho i ka mea pivot \(2\), ka mea mua o ka lālani mua.
– E hana i nā mea ʻole ma lalo o ka mea pivot mua:
– Lālani 2: \(4 – 2(2) = 0\)
– Lālani 3: \(3 – \frac{3}{2}(2) = 0\)
- ʻO nā hopena ma hope o ke ʻoki ʻana:
\[
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 \\
0 & -5 & -4 \\
0 & \frac{1}{2} & \frac{7}{2} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
-2 \\
7 \\
\end{pmatrix}
\]
2. Hoʻololi hope:
E hoʻomaka mai ka mea lalo a hana i kou ala i luna e ʻike mālie i nā waiwai loli.
– \(z = 1\)
– \(y = \frac{-19}{10}\)
– \(x = \frac{31}{10}\)
Nā Pōmaikaʻi a me nā Palena
He nui nā pono o ke ʻano hoʻopau Gaussian. ʻO kēia mau mea:
- Pili: Hiki ke hoʻopili ʻia i nā ʻōnaehana me ka nui o nā loli.
– Pae Heluhelu: ʻOi aku ka liʻiliʻi o ka pono o ka helu ʻana ma mua o nā hana maʻamau.
– Hiki ke hoʻohana ʻia i nā kūlana like ʻole: Ma nā ʻano matrix liʻiliʻi a nui.
Eia nō naʻe, he mau palena ko kēia ʻano hana. No ka laʻana, i nā kūlana kahi kokoke i ka hoʻokahi o ka matrix a i ʻole he mea hoʻoholo liʻiliʻi loa, hiki i nā hewa hoʻopuni ke lilo i pilikia koʻikoʻi. Pono ka hoʻohana akahele ʻana i ka wehewehe helu ma kēia ʻano.
Ka hopena
He mea hana ikaika ke ʻano hoʻopau Gaussian no ka hoʻoponopono ʻana i nā ʻōnaehana o nā kaulike linear, ma ka makemakika theoretical a me nā noi hana ma nā ʻano kahua like ʻole. Mai ka loiloi ʻenekinia a i ka hoʻokele waiwai a me nā helu helu, ua waiho mai ʻo Gauss iā mākou me kahi hoʻoilina mau loa o nā ʻano hana i ka ʻepekema. ʻO ka hoʻomaopopo ʻana i nā kumumanaʻo kumu a me kā lākou noi ʻana i nā pōʻaiapili o ka honua maoli he mea nui ia no kekahi mea e makemake ana e hoʻokele i ka algebra linear a me kāna mau noi.
