Laʻana o nā nīnau e kūkākūkā ana i ka hoʻololi ʻana o ka hana
He manaʻo koʻikoʻi nā hoʻololi hana i ka makemakika, ʻoi aku hoʻi i ka algebra a me ka loiloi hana. Hoʻopuni kēia mau hoʻololi i nā hana like ʻole e like me nā unuhi, nā noʻonoʻo ʻana, nā dilations, a me nā rotations ma ka pakuhi o kahi hana. He mākaukau waiwai nui ka hoʻomaopopo ʻana i ka hana ʻana o nā hoʻololi hana a me ka hiki ke hoʻopili iā lākou i nā pilikia, ma nā ʻano hoʻonaʻauao a me nā noi hana o kēlā me kēia lā.
E uhi ana kēia ʻatikala i kekahi mau laʻana o nā pilikia hoʻololi hana, me nā wehewehe ʻana, e hāʻawi i kahi kiʻi maopopo o ke ʻano o ka hoʻopili ʻana i kēia mau manaʻo. Ma mua o ko mākou luʻu ʻana i loko o nā laʻana, e nānā hou kākou i kekahi mau ʻano maʻamau o nā hoʻololi hana:
1. Unuhi (Shift):
– Unuhi ʻana ma ka ʻaoʻao pae: \( f(x) \longrightarrow f(x – h) \) kahi ʻo \( h \) ka nui o ka neʻe ʻana i ka ʻākau a i ʻole ka hema.
– Unuhi kū pololei: \( f(x) \longrightarrow f(x) + k \) kahi ʻo \( k \) ka nui o ka neʻe ʻana i luna a i lalo paha.
2. Noʻonoʻo (Noʻonoʻo):
– Noʻonoʻo e pili ana i ke axis \( x \): \( f(x) \longrightarrow -f(x) \).
– Ka noʻonoʻo ʻana e pili ana i ke axis \( y \): \( f(x) \longrightarrow f(-x) \).
3. Dilation (Hoʻololi i ka Unahi):
– Hoʻonui ʻia ka pae: \( f(x) \longrightarrow f(cx) \) kahi ʻo \( c \) ka helu unahi pae.
– Hoʻonui kū pololei: \( f(x) \longrightarrow af(x) \) kahi ʻo \( a \) ka helu unahi kū pololei.
Me kēia ʻike kumu, e neʻe mākou i kekahi mau hiʻohiʻona o nā pilikia hoʻololi hana.
Laʻana Nīnau 1: Unuhi Paepae
Nīnau: Hāʻawi ʻia ka hana \( f(x) = x^2 \). E hoʻoholo i ke ʻano o ka hana ma hope o ka unuhi ʻia ʻana o 3 mau ʻāpana i ka ʻākau.
Kūkākūkā:
Hoʻoneʻe ka unuhi ʻana ma ka ʻaoʻao o ka hana ma ke axis \( x \ ). Ua unuhi ʻia ka unuhi ʻana i ka ʻākau ma 3 mau ʻāpana penei:
\[ f(x-3) \]
No laila, hoʻololi mākou i kēlā me kēia \( x \) me \( x – 3 \) ma ka hana mua:
f(x-3) = (x-3)^2
No laila, ʻo ka hana i unuhi ʻia i ka ʻākau e 3 mau ʻāpana penei:
\[ (x-3)^2 \]
Laʻana Nīnau 2: Unuhi Kū pololei
Nīnau: Hāʻawi ʻia ka hana \( g(x) = \sqrt{x} \). E hoʻoholo i ke ʻano o ka hana ma hope o ka unuhi ʻia ʻana he 4 mau ʻāpana i luna.
Kūkākūkā:
Hoʻoneʻe ka unuhi kū pololei i ka pakuhi o ka hana ma ke axis \( y \ ). Ua unuhi ʻia ka unuhi i luna e 4 mau ʻāpana penei:
\[ g(x) + 4 \]
No laila, ʻo ka hana ma hope o ka unuhi ʻia ʻana i luna penei:
\[ \sqrt{x} + 4 \]
Laʻana Nīnau 3: Noʻonoʻo e pili ana i ka \( x \) Axis
Nīnau: Hāʻawi ʻia ka hana \( h(x) = \sin(x) \). E hoʻoholo i ke ʻano o ka hana ma hope o kona hōʻike ʻia ʻana e pili ana i ke axis \( x \).
Kūkākūkā:
Hoʻololi ka noʻonoʻo ʻana e pili ana i ke axis \( x \) i ka hōʻailona o ka hana. No laila, hoʻonui mākou i ka hana me -1:
\[ -h(x) \]
No laila, ʻo ka hana ma hope o ka noʻonoʻo ʻana e pili ana i ke axis \( x \):
\[ -\sin(x) \]
Laʻana Nīnau 4: Noʻonoʻo e pili ana i ka \( y \) Axis
Nīnau: Hāʻawi ʻia ka hana \( j(x) = e^x \). E hoʻoholo i ke ʻano o ka hana ma hope o kona hōʻike ʻia ʻana e pili ana i ke axis \( y \).
Kūkākūkā:
ʻO ka noʻonoʻo ʻana e pili ana i ke axis \( y \) e hoʻololi i ka hōʻailona o ka loli \( x \). No laila ke pani nei mākou i kēlā me kēia \( x \) me \( -x \):
\[ j(-x) \]
No laila, ʻo ka hana ma hope o ka noʻonoʻo ʻana e pili ana i ke axis \(y \):
\[ e^{-x} \]
Laʻana Nīnau 5: Hoʻonui Kū pololei
Nīnau: Hāʻawi ʻia ka hana \( f(x) = \cos(x) \). E hoʻoholo i ke ʻano o ka hana ke hana ʻia kahi dilation vertical me kahi kumu o 2.
Kūkākūkā:
ʻO ka hoʻonui ʻana i ka vertical e pili ana i ka hoʻonui ʻana i kahi hana me kahi kumu unahi vertical. No laila, hoʻonui mākou i ka hana me 2:
\[ 2f(x) \]
No laila, ʻo ka hana ma hope o ka hoʻonui ʻana i ka vertical e kahi kumu o 2 penei:
\[ 2\cos(x) \]
Laʻana Nīnau 6: Hui Pū ʻana o nā Unuhi Pae a me Vertical
Nīnau: Hāʻawi ʻia ka hana \( k(x) = \ln(x) \). E hoʻoholo i ke ʻano o ka hana ma hope o ka unuhi ʻia ʻana o 2 mau ʻāpana i ka hema a me 3 mau ʻāpana i lalo.
Kūkākūkā:
ʻO ka mea mua, ua unuhi ʻia ka unuhi ʻana o 2 mau ʻāpana i ka hema e like me \( k(x+2) \). ʻO ka lua, ua unuhi ʻia ka unuhi ʻana o 3 mau ʻāpana i lalo e like me:
\[ k(x+2) – 3 \]
No laila, ʻo ka hana ma hope o kēia hui unuhi penei:
\[ \ln(x+2) – 3 \]
Laʻana Nīnau 7: Hui Pū ʻana o ka Noʻonoʻo a me ka Dilation
Nīnau: Hāʻawi ʻia ka hana \( m(x) = x^3 \). E hoʻoholo i ke ʻano o ka hana ma hope o kona hōʻike ʻia ʻana e pili ana i ke axis \( y \) a ua hana ʻia kahi dilation vertical me kahi kumu o 1/2.
Kūkākūkā:
ʻO ka mea mua, ua unuhi ʻia ka noʻonoʻo e pili ana i ke axis \( y \) e like me \( m(-x) \). ʻO ka lua, ua unuhi ʻia ka hoʻonui ʻana i luna e kahi kumu o 1/2 e like me:
\[ \frac{1}{2} m(-x) \]
No laila, ʻo ka hana ma hope o kēia hui pū ʻana o ka noʻonoʻo a me ka dilation penei:
\[ \frac{1}{2}(-x)^3 = -\frac{1}{2} x^3 \]
Laʻana Nīnau 8: Hoʻonui Paepae
Nīnau: Hāʻawi ʻia ka hana \(n(x) = \tan(x) \). E hoʻoholo i ke ʻano o ka hana ke hana ʻia kahi dilation horizontal me kahi kumu o 3.
Kūkākūkā:
ʻO ka hoʻonui ʻana i ka pae hoʻohālikelike e pili ana i ka hoʻonui ʻana i ka loli \( x \) me ka 1/c (kahi \( c \) ka kumu unahi pae hoʻohālikelike). No laila, hoʻonui mākou i ka loli \( x \) me ka 1/3:
\[ n(\frac{x}{3}) \]
No laila, ʻo ka hana ma hope o ka hoʻonui ʻana i ka pae ma kahi kumu o 3 penei:
\[ \tan(\frac{x}{3}) \]
Pani
He mea pono loa ka hoʻomaopopo ʻana i nā hoʻololi hana, me nā unuhi, nā noʻonoʻo ʻana, a me nā dilatation, i ka makemakika a me kāna mau noi. Ma ka hoʻomaʻamaʻa ʻana a me ka hoʻoponopono ʻana i nā pilikia like ʻole e pili ana i nā hoʻololi hana, e hoʻomaikaʻi ʻoe i kou hiki ke ʻike a wānana i nā loli i ke ʻano o nā pakuhi hana.
Hāʻawi kēia ʻatikala i kekahi mau pilikia hoʻohālike e kōkua iā ʻoe e aʻo e pili ana i nā hoʻololi hana. Ma hope o kēlā me kēia pilikia hoʻohālike, ua kūkākūkā kikoʻī ʻia e hōʻoia i kou maopopo i nā manaʻo. ʻO ka hoʻomaʻamaʻa mau ʻana me nā pilikia like ʻole e kōkua iā ʻoe e lilo i ʻoi aku ka mākaukau i ka hoʻomaopopo ʻana a me ka hoʻopili ʻana i nā hoʻololi hana.
